На той же олимпиаде ЮМШ в 9 классе был предложен такой геометрический сюжет.

Дан неравнобедренный треугольник ABC без тупых углов, с центром вписанной окружности I и точкой
M, делящей отрезок BC пополам.

1.1. Докажите, что прямая IM не может быть параллельна никакой стороне треугольника ABC.

1.2. Пусть прямая IM пересекает прямые AB и AC в точках C1 и B1, соответственно. Обозначим
через I_b центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся отрезка AC. Докажите, что
I_bB1 параллельно BC. (Т. Праведников, Н. Галимуллин)

Вывод.

1.3. Пусть ∠A = 90. Точка P выбрана так, что MP = MI и IP параллельно BC. Докажите, что IP ⩽ B1C1.

1.4. Обозначим через N середину дуги BAC описанной окружности треугольника ABC. Докажите,
что центр описанной окружности треугольника NB1C1 лежит на прямой AI. (Т. Праведников, Н. Галимуллин)

В 10 классе был такой геометрический сюжет.

Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC и на его биссектрисах BE и CF, которые
пересекаются в точке I, выбрали такие точки B_1 и C_1, соответственно, что ∠BAB_1 = ∠CAC_1 = 90.

1.1. Оказалось, что ∠A = 60. Докажите, что прямая, соединяющая центры описанных окружностей
треугольников ABC_1 и ACB_1, проходит через I.

1.2. Докажите, что B_1C_1 ⩾ AB + AC − BC.

Вывод

1.3. Описанные окружности треугольников AB_1F и AC_1E повторно пересекаются в точке S. Докажите,
что описанная окружность треугольника AIS проходит через основание перпендикуляра из I на BC.

1.4. Точка X выбрана на отрезке B_1C_1 так, что AX ⊥ BC. Докажите, что вневписанные окружности
треугольников AXB_1 и AXC_1, касающиеся отрезка AX, имеют равные радиусы.