«دوست دارم ریاضیدان باشم» از آثار مشهور پال هالموس ریاضیدان آمریکایی مجاری تبار و شارح و نویسنده پرآواز ریاضی است که به زندگی و کار و کردار او به مثابه یک ریاضیدان میپردازد و در این رهگذر چشماندازی به روی یک برهه مهم تاریخ ریاضیات امریکا (از دهه چهل تا اواسط دهه هشتاد میلادی) میگشاید.
هالموس هر چند صاحب آثار پژوهشی شایان توجهی در آنالیز تابعی، نظریه ارگودیک، نظریه اندازه و منطق جبری است، کار پژوهشی خود را در رتبه چهارم (پس از نویسندگی، وبرایش و تدریس) قرار میداد؛ یعنی بیشترین تبحر را به نظر خودش در نوشتن داشت.
@infinitymath
هالموس هر چند صاحب آثار پژوهشی شایان توجهی در آنالیز تابعی، نظریه ارگودیک، نظریه اندازه و منطق جبری است، کار پژوهشی خود را در رتبه چهارم (پس از نویسندگی، وبرایش و تدریس) قرار میداد؛ یعنی بیشترین تبحر را به نظر خودش در نوشتن داشت.
@infinitymath
سه دایره دو به دو مماس با شعاعهای r1 و r2 و r3 را در نظر بگیرید. در این صورت، دو دایره دیگر محیطی و محاطی به نام دایرههای سدی (Soddy) وجود دارند که هر یک از آنها با سه دایره مفروض، یک مجموعه از چهار دایره را تشکیل می دهند که در شش نقطه بر یکدیگر مماس هستند (شکل بالا را ببینید). فرض کنید شعاع دایره سدی rs باشد. در این صورت شعاع های این چهار دایره در رابطه زیر که به «قضیه دکارت» معروف است صدق می کنند:
(۱/r١ +۱/ r٢ +۱/ r٣ + ۱/rs)^٢ = ٢(۱/r١^٢ + ۱/r٢^٢ +۱/ r٣^٢ +۱/ rs^٢).
قضیه دکارت توسط اشتاینز در ١٨٢٨ و توسط بیکرافت در در ١٨۴٢، و بازهم توسط سدی برنده جایزه نوبل در شیمی در ١٩٣۶ کشف مجدد شده است. سدی یافته خود را به صورت شعری با عنوان « بوسه دقیق » یا The Kiss Precise در مجله The nature به چاپ رسانیده است.
The Kiss Precise by Frederick Soddy
@infinitymath
For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
This not so when four circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.
Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance form the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.
To spy out spherical affairs
An oscular surveyor
Might find the task laborious,
The sphere is much the gayer,
And now besides the pair of pairs
A fifth sphere in the kissing shares.
Yet, signs and zero as before,
For each to kiss the other four
The square of the sum of all five bends
Is thrice the sum of their squares.
in Nature, June 20, 1936
این قضیه تعمیمهای زیادی به صورت شعر دارد.
@infinitymath
(۱/r١ +۱/ r٢ +۱/ r٣ + ۱/rs)^٢ = ٢(۱/r١^٢ + ۱/r٢^٢ +۱/ r٣^٢ +۱/ rs^٢).
قضیه دکارت توسط اشتاینز در ١٨٢٨ و توسط بیکرافت در در ١٨۴٢، و بازهم توسط سدی برنده جایزه نوبل در شیمی در ١٩٣۶ کشف مجدد شده است. سدی یافته خود را به صورت شعری با عنوان « بوسه دقیق » یا The Kiss Precise در مجله The nature به چاپ رسانیده است.
The Kiss Precise by Frederick Soddy
@infinitymath
For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
This not so when four circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.
Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance form the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.
To spy out spherical affairs
An oscular surveyor
Might find the task laborious,
The sphere is much the gayer,
And now besides the pair of pairs
A fifth sphere in the kissing shares.
Yet, signs and zero as before,
For each to kiss the other four
The square of the sum of all five bends
Is thrice the sum of their squares.
in Nature, June 20, 1936
این قضیه تعمیمهای زیادی به صورت شعر دارد.
@infinitymath
دو خط موازی، مشابه شکل زیر، در نظر بگیرید. یک نقطه روی خط پایین ثابت بگیرید و نقطه دوم روی خط بالایی غیر ثابت باشد. اگر یک مثلث متساویالاضلاع رسم کنید که این دو نقطه دو رأس آن باشند، و نقطه دوم را حول خط موازی بالا حرکت دهید، آنگاه رأس سوم مثلث تشکیل شده یک خط راست را تشکیل میدهد!
@infinitymath
@infinitymath
یک خم بسته، محدب و هموار را در نظر بگیرید و یک وتر با طول ثابت را حول این خم (مطابق شکل بالا) بچرخانید. ضمنا روی این وتر یک نقطه را در نظر بگیرید که طول وتر را به دو قسمت به طولهای a و b تقسیم کند. هنگامیکه وتر حول خم میچرخد، این نقطه روی وتر یک خم دیگر را رسم میکند، که داخل خم قبل است.
مساحت بین این دو خم چیست؟ با استفاده از قضیه Holditch این مساحت برابر pi*a*b است.
@infinitymath
مساحت بین این دو خم چیست؟ با استفاده از قضیه Holditch این مساحت برابر pi*a*b است.
@infinitymath
Forwarded from Deleted Account
@inifinitymath
✅ Kakeya Needle Problem
مساله سوزن کاکیا
کاکیا ریاضی دان ژاپنی در سال 1917 مساله ای را مطرح کرد که بعدها به مساله سوزن کاکیا معروف شد. مساله بدین شکل بود:
((کمترین مساحت شکلی که در آن میتوان سوزنی به طول واحد را به طور پیوسته در صفحه به اندازه 180 درجه چرخاند، طوریکه که به جای اول خود برگردد ولی در جهت عکس، چند است؟ )) برای مثال در دایره ای به قطر 1 اگر وسط سوزن را در مرکز دایره قرار دهیم این کار امکان پذیر است. در نیم دایره ای با شعاع 1 نیز این امر امکان پذیر است !!!!
حدس کاکیا و فوجی وارا این بود که با فرض محدب بودن، کوچکترین مجموعه محدبی که میتوان سوزن را در آن 180 درجه چرخاند مثلث متساوی الاضلاع به ارتفاع 1 است که مساحت آن 1به روی رادیکال 3 است. در سال 1921 جولیوس پال این حدس را اثبات کرد. اگر شرط محدب بودن رابرداریم، مجموعه هایی که مساحت کمتر داشته باشند نیز یافت میشوند مانند deltoid با سه راس که مساحت آن phi/8 است که کمتر از مساحت مثلث متساوی الاضلاع به ارتفاع 1 است.
اما در این میان جواب حیرت انگیزی برای مساله پیدا شد: بسیکوویچ (Besicovitch) ریاضیدان روسی در حل مسایلی در آنالیز فوریه و آنالیز هارمونیک به ارتباط تناتنگی با مساله سوزن کاکیا پی برد، او نشان داد که مجموعه هایی با مساحت به دلخواه کوچک ( از اندازه 0 ) وجود دارند که سوزن به طول واحد میتواند به صورت پیوسته در آن سرو ته شود.
@infinitymath
✅ Kakeya Needle Problem
مساله سوزن کاکیا
کاکیا ریاضی دان ژاپنی در سال 1917 مساله ای را مطرح کرد که بعدها به مساله سوزن کاکیا معروف شد. مساله بدین شکل بود:
((کمترین مساحت شکلی که در آن میتوان سوزنی به طول واحد را به طور پیوسته در صفحه به اندازه 180 درجه چرخاند، طوریکه که به جای اول خود برگردد ولی در جهت عکس، چند است؟ )) برای مثال در دایره ای به قطر 1 اگر وسط سوزن را در مرکز دایره قرار دهیم این کار امکان پذیر است. در نیم دایره ای با شعاع 1 نیز این امر امکان پذیر است !!!!
حدس کاکیا و فوجی وارا این بود که با فرض محدب بودن، کوچکترین مجموعه محدبی که میتوان سوزن را در آن 180 درجه چرخاند مثلث متساوی الاضلاع به ارتفاع 1 است که مساحت آن 1به روی رادیکال 3 است. در سال 1921 جولیوس پال این حدس را اثبات کرد. اگر شرط محدب بودن رابرداریم، مجموعه هایی که مساحت کمتر داشته باشند نیز یافت میشوند مانند deltoid با سه راس که مساحت آن phi/8 است که کمتر از مساحت مثلث متساوی الاضلاع به ارتفاع 1 است.
اما در این میان جواب حیرت انگیزی برای مساله پیدا شد: بسیکوویچ (Besicovitch) ریاضیدان روسی در حل مسایلی در آنالیز فوریه و آنالیز هارمونیک به ارتباط تناتنگی با مساله سوزن کاکیا پی برد، او نشان داد که مجموعه هایی با مساحت به دلخواه کوچک ( از اندازه 0 ) وجود دارند که سوزن به طول واحد میتواند به صورت پیوسته در آن سرو ته شود.
@infinitymath