Докажите, что не существует набора из 2022 попарно различных натуральных чисел, в котором сумма любых 2020 делится на сумму двух оставшихся.

Всем доброе утро.

Хочу предложить вам метазадачку. Ее не надо решать, но я очень прошу помощи с придумыванием формулировок.

Суть: мы в Euclidea задумали сделать целую серию Weekly Puzzles, в которых используются флаги стран мира (можно и не только стран, но страны для нас в приоритете). Вот список со ссылками
https://en.wikipedia.org/wiki/Gallery_of_sovereign_state_flags

Что нужно? Внимательно поглядеть на какой-нибудь флаг. В викистатье о нем обычно есть раздел design (иногда - сolours and proportions), в котором описано, как строится изображение на флаге, каково отношение сторон, как они делятся на полоски и так далее. Если вам кажется, что вы можете придумать интересную задачу о выбранном вами флаге - напишите мне ее в личку, пожалуйста. Все авторы принятых задач будут упомянуты при публикации в Weekly Puzzle.

И заранее спасибо!

«Специальная военная операция» на Украине: отношение россиян. Третья волна (13-16 марта)

Исследовательская группа Russian Field вместе с руководителем фонда «Городские проекты» Максимом Кацем провела третью волну инициативного исследования об отношении россиян к «специальной военной операции» на Украине.
Опросы в условиях «новой искренности». Наша позиция
Вы, наверное, уже читали, что опросы в военное время невалидны и необъективны, а выборка, за которой стоят 29 тысяч отказов, не может быть репрезентативной. И для нас, независимой социологической компании, следящей за изменениями общественного мнения в последние три недели, очень важно объяснить, зачем мы в условиях «поломанных» методов продолжаем звонить Вам по телефону и подходить на улицах. Когда столько всего потеряло смысл, важно говорить о смыслах.

Во-первых, мы видим значительное смещение выборки. На этой неделе мы получили более 29 тысяч отказов на 1651 целевую анкету. Это много и это значительно больше, чем давали люди до 24.02.2022. Относительно февраля количество отказов выросло на 25,4%, а количество прерванных анкет – на 34,1%.

Ниже мы попытались разобраться в том, кто чаще всего отказывается отвечать на вопросы. Нам кажется, что попытка понять тех, кого не подсвечивают итоговые графики отчёта, имеет значение для разговора об «общественном мнении», особенно сейчас.

Несмотря на всё вышеперечисленное, в ситуации искажения информации и ограничения каналов её получения, кажется неправильным не делиться результатами, которые получают опросы общественного мнения в нынешних условиях. Потому что результаты опросов в новостях будут. Доверять им или нет – каждый решает сам. На наш взгляд, лучше иметь результаты
независимой компании, чем не иметь результатов независимой компании. И даже если мы не доверяем полученным цифрам, они не нравятся нам (живым людям с разными взглядами) или их публикация для постороннего читателя выглядит как «легитимизация войны», скрывать эти данные неуместно. На том стоим.

За период 13-16 марта количество прерванных анкет увеличилось на 34,1%, количество отказов выросло на 25,4%. Чтобы получить одну целевую анкету интервьюер совершает порядка 18 звонков.

Для анализа триггерных вопросов и причин прерывания опроса мы брали звонки из блоков «Прервано» и «Отказ», длящиеся дольше 60 секунд (сам разговор занимал от 40 секунд, по нашим подсчётам, к этому моменту интервьюер успевал получить согласие на опрос и зачитать вопросы о возрасте и регионе). Тем не менее, вследствие такого ограничения возможны погрешности в отношении частоты остановок опроса на первых вопросах основного блока. Было проанализировано 300 случайных записей звонков.

Часто люди, готовые пройти опрос, радикально меняли свои намерения уже на первом-втором вопросе, связанном с ситуацией в Украине. Это были следующие вопросы:
- 5 вопрос. «Вы поддерживаете или не поддерживаете военную операцию российских войск на территории Украины?» (27% отказов)
- 6 вопрос. «Оцените, пожалуйста, насколько Вы согласны со следующими утверждениями, по шкале от 1 до 10, где 1 – абсолютно не согласен, а 10 – абсолютно согласен» (54% отказов)
- 4 вопрос «Назовите, пожалуйста, три источника информации, которым Вы доверяете» (13% отказов)

Судя по прослушанным записям, в 6 вопросе респондентов отталкивали скорее не зачитываемые утверждения, а сложный способ их анализа, большое количество триггерных слов подряд и размер вопроса в целом.

4, 5, 6 вопросы отсеивали более 80% респондентов

Мы считаем, что наш долг – предупредить Вас о том, что данные могут быть искажены из-за увеличения отказов и потенциального снижения искренности респондентов. Поэтому на слайдах с вопросами «Вы поддерживаете или не поддерживаете военную операцию российских войск на территории Украины?» и «Оцените, пожалуйста, насколько Вы согласны со следующими утверждениями, по шкале от 1 до 10, где 1 – абсолютно не согласен, а 10 – абсолютно согласен» будет находиться следующая пометка:

«Можно предположить, что с увеличившимся количеством отказов от прохождения опроса и потенциальным со снижением искренн

Далее по ссылке https://russianfield.com/beregiterossiy

Забавная задачка о родстве.

If two men each take the other's mother in marriage, what should be the relationship between their sons?

Если каждый из двоих мужчин [не состоящих ни в каком в родстве] женится на матери другого, каким будет родство между их сыновьями?

Обращение ректората Харьковского университета
https://karazin.ua/news/zvernennia-karazinskoho-universytetu-do-nbsp-svitovoi-univer/

Там можно переключить на английскую версию. Распространите, кто хочет и может.

На днях мы разговаривали с коллегой, которому предложили написать книжку про то, зачем нужна математика и как она помогает в жизни. И я - под настроение, но не только - сказал ему жуткую крамолу: необходимость математических знаний в жизни сильно преувеличена, подавляющее большинство людей вполне может прожить всю жизнь, ни разу не столкнувшись с необходимостью решать квадратные уравнения, не говоря уже о тригонометрии и прочих логарифмах. Это не значит, что в школе не нужно учить арифметике, алгебре и геометрии, - но ценность их изучения, в общем-то, не в знаниях, которые мы при этом получаем.

А вот сегодня увидел такой пост.
https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=1923514001171815&id=100005397009848&__cft__[0]=AZWAbdRs5wc5vQZTA_KZ_swaPyC7FQuB6vXVSkG2kwqMurUtpEbzrU2P7IXPmGQS_G-sxw-EsAbwKJl8H06dl6aU6rgfYtugCE0r7s8GmNqXoctxAwrUtsvPJUOmZoHgQgY&__tn__=%2CO%2CP-R

Так что беру свои слова обратно.
Математика в жизни очень нужна. Главное - иметь перед собой правильную цель. И правильное средство для её поражения.

От Эдуарда Лернера:

Найти одно из решений криптарифма МИРУ+МИР=НЕТ+ВОЙНЕ.
(всего существует 6 решений, надо найти хотя бы одно из них).
#easy
PS. Эта задача, обсуждалась сегодня в кулуарах олимпиады Фридлендера https://admissions.kpfu.ru/fridlender (человека Мирной Земли)

Старая задачка Кати С.

Сто грустных мартышек кидают друг в друга одним кокосовым орехом. Грустная мартышка, попавшая орехом в другую грустную мартышку, становится весёлой и больше уже не грустнеет. Мартышка, в которую попали, выбывает из игры. Каких мартышек больше выбыло из игры - весёлых или грустных - к моменту, когда осталась последняя мартышка?

Скопирую из ФБ свой пост пятилетней давности.
Может, кому-то пригодится.

=================================
Кто о чем, а я о "противных" доказательствах
Не помню, писал ли я уже об этом когда-то, но точно много обдумывал. В чем "фишка" доказательств от противного и почему ими следует пользоваться как в обучении математике, так и в собственно математике? Этого почти никто толком не понимает, потому что в школе этого не объясняют, а потом умные люди уже не занимаются такими благоглупостями.
Пусть нам нужно доказать утверждение "A ⇒ B".
Вероятно, вам кажется, что если его доказывать от противного, то это означает необходимость доказать утверждение "¬B ⇒ ¬A" (¬ означает "не"). А вот и нет-с!
Когда вы _правильно_ используете метод доказательства от противного, то у вас есть не одно условие A, а два разных: A и ¬B. И вот из двух условий вместе (математики зовут это конъюнкцией, но можно и не знать мудрёных слов, тем более что это самый обычный союз И) вам нужно... а что вам, собственно, нужно? А нужно всего лишь прийти к противоречию. Любому противоречию, не важно, в каком месте и с чем именно!
Понимаете? Раньше вам нужно было (непонятно, как именно) проложить ниточку рассуждений от того, которое было дано, к тому, которое надо было доказать. Это могла быть достаточно длинная ниточка, а вы держитесь за один конец клубка, и совершенно непонятно, как его разматывать, чтобы он вас привёл куда надо. А "противное" сразу позволяет опереться на два разных хвоста и мотать их совместно. Сплошь и рядом это оказывается удобнее и быстрее, потому что на двух опорах стоять проще, чем на одной. И главное - у вас нет цели нечто конкретное доказать, ваша цель намного проще: обнаружить противоречие. То есть вы просто последовательно строите шаг за шагом всё, что следует из ваших двух условий, взятых вместе, до тех пор, пока не увидите, что пришли к чему-то невозможному, несовместимому либо друг с другом, либо с еще чем-то ранее известным.
PS. Лобачевский именно так и создал свою геометрию. Да и Эйнштейн, вроде бы, решился постулировать постоянство скорости света относительно любого наблюдателя только после того, как в конце концов не смог вывести никакого противоречия.

Жизнь у котов зачастую впритык с бедою, а ведь казалось бы – спи, тыгыдымь, играй. Первую жизнь он оставил в ведре с водою, мокрыми лапами мертво вцепившись в край.

Дальше – канавы, дворы, чердаки, подвалы. Вы не видали, как с крыши слетает кот? Да, восемь жизней кота – их не так уж мало. Впрочем, осталось семь, позади полёт. Зимы, морозы, крысы, плохие драки. Очень не просто выжить - о том и речь. Шесть, пять, четыре - слетели под хвост собаке. Две остаются. Хоть эти то – поберечь.

Рваное ухо и семь переломов мелких. Крайних не ищем, ну кто теперь виноват? Нету ни дома, ни просто своей тарелки. И своего человека, такой расклад. А человека надо. Ну, очень надо. Стылой зимою в окошко свое глядеть…

Только накрыло ночной городишко Градом, и вообще не осталось вокруг людей. Нет ничего. Ни еды, ни воды, ни крика. Только развалины. И через них к коту тянет ладошки девочка с светлым ликом, как непонятно попавшая за черту. Прячет за пазуху, гладит движением длинным. Шепчет: хороший! Ты только держись, держись… Кот с рваным ухом бежит через поле с минами. И отдает ей свою предпоследнюю жизнь.

(С) Татьяна Тарасова

Несколько дней назад широко известный в узких кругах математиков видеоблогер Michael Penn опубликовал видео под заголовком "Моё новое любимое доказательство малой теоремы Ферма".
Я поглядел - и нахожусь в некоторой прострации. Точнее, в том её синониме, который из четырех букв, на а начинается на и краткий заканчивается
Потому что одно из трех - или заголовок видео врёт, или Майкл действительно раньше не знал этой техники доказательств, или смысл заголовка в том, что раньше он такие вещи не любил, а вот теперь она ему стала нравиться. В первое верить не хочется, в последнее тоже, - значит, второе?
Вдвойне стрёмно, что излагая комбинаторное (по сути) доказательство, он совершенно не говорит о его комбинаторной природе, а ограничивается только алгеброй.
Так можно было? А зачем?

https://www.youtube.com/watch?v=Ow_9II-DeTI&ab_channel=MichaelPenn

Изложение того же доказательства на более комбинаторном языке.
Рассмотрим множество вершин правильного p-угольника, и раскрасим каждую вершину в один из a цветов (получая a-цветное ожерелье). Тогда общее число рассматриваемых раскрасок равно a^p.
Среди этих ожерелий есть ровно два типа - те, в которых присутствует ровно один цвет, и те, в которых есть более одного цвета.
Первых - ровно a штук: по одному для каждого из цветов.
Количество ожерелий второго типа сосчитать не совсем просто, но нам этого и не нужно (Майклу Пенну тоже не нужно, но он делает вид, что нужно). Нам важно, что эти ожерелья легко группируются в кучки по p штук - в каждую кучку входят все ожерелья, которые получаются из данного такими поворотами вершин многоугольника, при которых все вершины переходят сами в себя. Таких поворотов ровно p, и все ожерелья в них различны именно потому, что p - простое, и p-периодические ожерелья не могут иметь периодов, меньших чем p.
Это означает, что количество ожерелий второго типа делится нацело на p, то есть (a^p - a) кратно p, - а это и есть малая теорема Ферма.

Очень старенькая моя задачка

Пусть $a, b, c$ --- действительные числа из отрезка $[3;6]$. Докажите или аргументировано опровергните следующие неравенства:

1. $a^2 + b^2 + c^2 \leq 1{,}2(ab + bc + ca)$

2. $a/b + b/c + c/a \leq 7/2$

3. $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \leq \frac 32$

4. $\frac{a^2 + b}{a^2 + c} + \frac{b^2 + c}{b^2 + a} + \frac{c^2 + a}{c^2 + b} \leq \frac{61}{20}$

Задача, которую у меня вот уже второй день не получается решить. Решение точно должно быть, причём несложное.




Даны три луча с общей вершиной О, делящие плоскость на три угла, меньших 180. В каждый из углов вписана окружность. Требуется построить на сторонах лучей такие три точки A,B,C, чтоб эти окружности оказались вписанными в треугольники AOB, BOC, COA соответственно.

Опубликовал в группе FB шесть однотипных задач на нахождение неизвестного угла. Во всех задачах ответ - целое число градусов. Мне удалось решить без тригонометрии не все (с тригонометрией я их, собственно, находил).

Попробуйте свои силы.

Это первая

Вторая

Третья

Четвёртая

Пятая