От Эдуарда Лернера:

Найти одно из решений криптарифма МИРУ+МИР=НЕТ+ВОЙНЕ.
(всего существует 6 решений, надо найти хотя бы одно из них).
#easy
PS. Эта задача, обсуждалась сегодня в кулуарах олимпиады Фридлендера https://admissions.kpfu.ru/fridlender (человека Мирной Земли)

Старая задачка Кати С.

Сто грустных мартышек кидают друг в друга одним кокосовым орехом. Грустная мартышка, попавшая орехом в другую грустную мартышку, становится весёлой и больше уже не грустнеет. Мартышка, в которую попали, выбывает из игры. Каких мартышек больше выбыло из игры - весёлых или грустных - к моменту, когда осталась последняя мартышка?

Скопирую из ФБ свой пост пятилетней давности.
Может, кому-то пригодится.

=================================
Кто о чем, а я о "противных" доказательствах
Не помню, писал ли я уже об этом когда-то, но точно много обдумывал. В чем "фишка" доказательств от противного и почему ими следует пользоваться как в обучении математике, так и в собственно математике? Этого почти никто толком не понимает, потому что в школе этого не объясняют, а потом умные люди уже не занимаются такими благоглупостями.
Пусть нам нужно доказать утверждение "A ⇒ B".
Вероятно, вам кажется, что если его доказывать от противного, то это означает необходимость доказать утверждение "¬B ⇒ ¬A" (¬ означает "не"). А вот и нет-с!
Когда вы _правильно_ используете метод доказательства от противного, то у вас есть не одно условие A, а два разных: A и ¬B. И вот из двух условий вместе (математики зовут это конъюнкцией, но можно и не знать мудрёных слов, тем более что это самый обычный союз И) вам нужно... а что вам, собственно, нужно? А нужно всего лишь прийти к противоречию. Любому противоречию, не важно, в каком месте и с чем именно!
Понимаете? Раньше вам нужно было (непонятно, как именно) проложить ниточку рассуждений от того, которое было дано, к тому, которое надо было доказать. Это могла быть достаточно длинная ниточка, а вы держитесь за один конец клубка, и совершенно непонятно, как его разматывать, чтобы он вас привёл куда надо. А "противное" сразу позволяет опереться на два разных хвоста и мотать их совместно. Сплошь и рядом это оказывается удобнее и быстрее, потому что на двух опорах стоять проще, чем на одной. И главное - у вас нет цели нечто конкретное доказать, ваша цель намного проще: обнаружить противоречие. То есть вы просто последовательно строите шаг за шагом всё, что следует из ваших двух условий, взятых вместе, до тех пор, пока не увидите, что пришли к чему-то невозможному, несовместимому либо друг с другом, либо с еще чем-то ранее известным.
PS. Лобачевский именно так и создал свою геометрию. Да и Эйнштейн, вроде бы, решился постулировать постоянство скорости света относительно любого наблюдателя только после того, как в конце концов не смог вывести никакого противоречия.

Жизнь у котов зачастую впритык с бедою, а ведь казалось бы – спи, тыгыдымь, играй. Первую жизнь он оставил в ведре с водою, мокрыми лапами мертво вцепившись в край.

Дальше – канавы, дворы, чердаки, подвалы. Вы не видали, как с крыши слетает кот? Да, восемь жизней кота – их не так уж мало. Впрочем, осталось семь, позади полёт. Зимы, морозы, крысы, плохие драки. Очень не просто выжить - о том и речь. Шесть, пять, четыре - слетели под хвост собаке. Две остаются. Хоть эти то – поберечь.

Рваное ухо и семь переломов мелких. Крайних не ищем, ну кто теперь виноват? Нету ни дома, ни просто своей тарелки. И своего человека, такой расклад. А человека надо. Ну, очень надо. Стылой зимою в окошко свое глядеть…

Только накрыло ночной городишко Градом, и вообще не осталось вокруг людей. Нет ничего. Ни еды, ни воды, ни крика. Только развалины. И через них к коту тянет ладошки девочка с светлым ликом, как непонятно попавшая за черту. Прячет за пазуху, гладит движением длинным. Шепчет: хороший! Ты только держись, держись… Кот с рваным ухом бежит через поле с минами. И отдает ей свою предпоследнюю жизнь.

(С) Татьяна Тарасова

Несколько дней назад широко известный в узких кругах математиков видеоблогер Michael Penn опубликовал видео под заголовком "Моё новое любимое доказательство малой теоремы Ферма".
Я поглядел - и нахожусь в некоторой прострации. Точнее, в том её синониме, который из четырех букв, на а начинается на и краткий заканчивается
Потому что одно из трех - или заголовок видео врёт, или Майкл действительно раньше не знал этой техники доказательств, или смысл заголовка в том, что раньше он такие вещи не любил, а вот теперь она ему стала нравиться. В первое верить не хочется, в последнее тоже, - значит, второе?
Вдвойне стрёмно, что излагая комбинаторное (по сути) доказательство, он совершенно не говорит о его комбинаторной природе, а ограничивается только алгеброй.
Так можно было? А зачем?

https://www.youtube.com/watch?v=Ow_9II-DeTI&ab_channel=MichaelPenn

Изложение того же доказательства на более комбинаторном языке.
Рассмотрим множество вершин правильного p-угольника, и раскрасим каждую вершину в один из a цветов (получая a-цветное ожерелье). Тогда общее число рассматриваемых раскрасок равно a^p.
Среди этих ожерелий есть ровно два типа - те, в которых присутствует ровно один цвет, и те, в которых есть более одного цвета.
Первых - ровно a штук: по одному для каждого из цветов.
Количество ожерелий второго типа сосчитать не совсем просто, но нам этого и не нужно (Майклу Пенну тоже не нужно, но он делает вид, что нужно). Нам важно, что эти ожерелья легко группируются в кучки по p штук - в каждую кучку входят все ожерелья, которые получаются из данного такими поворотами вершин многоугольника, при которых все вершины переходят сами в себя. Таких поворотов ровно p, и все ожерелья в них различны именно потому, что p - простое, и p-периодические ожерелья не могут иметь периодов, меньших чем p.
Это означает, что количество ожерелий второго типа делится нацело на p, то есть (a^p - a) кратно p, - а это и есть малая теорема Ферма.

Очень старенькая моя задачка

Пусть $a, b, c$ --- действительные числа из отрезка $[3;6]$. Докажите или аргументировано опровергните следующие неравенства:

1. $a^2 + b^2 + c^2 \leq 1{,}2(ab + bc + ca)$

2. $a/b + b/c + c/a \leq 7/2$

3. $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \leq \frac 32$

4. $\frac{a^2 + b}{a^2 + c} + \frac{b^2 + c}{b^2 + a} + \frac{c^2 + a}{c^2 + b} \leq \frac{61}{20}$

Задача, которую у меня вот уже второй день не получается решить. Решение точно должно быть, причём несложное.




Даны три луча с общей вершиной О, делящие плоскость на три угла, меньших 180. В каждый из углов вписана окружность. Требуется построить на сторонах лучей такие три точки A,B,C, чтоб эти окружности оказались вписанными в треугольники AOB, BOC, COA соответственно.

Опубликовал в группе FB шесть однотипных задач на нахождение неизвестного угла. Во всех задачах ответ - целое число градусов. Мне удалось решить без тригонометрии не все (с тригонометрией я их, собственно, находил).

Попробуйте свои силы.

Это первая

Вторая

Третья

Четвёртая

Пятая

И вот с тупым углом С - шестая

Седьмую нашел.

Очень хочется переименовать группу в "Не тот чат, извините".
Чтоб никто не мог туда отправить "ошибочное" сообщение и извиняться за это...

Игра "Хаос"
https://www.geogebra.org/m/jnhbdqhk

Facebook в очередной раз сменил формат ссылок на публикацию.
Предыдущий формат был примерно вот таким:

https://www.facebook.com/groups/matkruzhki/posts/2316752031809053/

То бишь в URL явным образом было указано место публикации (личный аккаунт, страница, группа), потом слово posts, потом многозначный номер (по-видимому, уникальный для всех публикаций в FB).

Потом к этому номеру приделали "хвост" в виде какого-то длинного fb-идентификатора, сохранявшегося при копировании ссылки, но пропадавшего из адресной строки при переходе по этой ссылке внутри фейсбука.

А сейчас вот такое:
https://www.facebook.com/kostyaknop/posts/pfbid021Mf3yD4owegWEfatmzbTr56vkQSriwtndYMP5fMRBVnJPChkgFzwvCy93e6Drttvl

То бишь для ссылки оставлен только "хвост". Я сильно подозреваю, что где-то внутри странички есть и "старая ссылка" с номером, но как ее отыскать?

А если ее нету, то как расшифровать это дело? Согласитесь, что одно дело поделиться 16-значным числом, и совсем другое - вот этим вот уродством.

И все тот же вопрос... Почему надо останавливаться на 5 монетах...

Естественные продолжения:
- для какого макс. числа монет можно решить аналогичную задачу за 3, 4, 5 взвешиваний?
- начиная с некоторого n (число взвешиваний) оценки и примеры перестанут "сходиться", то есть между ними начнется некоторый зазор. Где именно?

Есть 5 монет. Из них три настоящие, одна фальшивая, которая весит больше настоящей, и одна фальшивая, которая весит меньше настоящей. За три взвешивания определите обе фальшивые монеты.

📜 Листок #взвешивания

A_1A_2...A_9 - правильный девятиугольник. Обозначим X_{klmn} точку пересечения диагоналей A_kA_m и A_lA_n.
1. Докажите, что P=X_{2679} и Q=X_{2349} лежат на прямой, параллельной стороне A_1A_9.
#medium
2. Докажите, что центр девятиугольника лежит на отрезке PQ.
#medium - #hard
3. Сколько всего точек пересечения диагоналей этого девятиугольника лежат на прямой PQ?
#hard