IMO 2020

На прошлой неделе завершилась Международная Математическая Oлимпиада. Поздравляем наших ребят со вторым местом в неофициальном командном зачёте!

1. 🇨🇳 (215)
2. 🇷🇺 (185)
3. 🇺🇸 (183)

Подробная статистика.

Задачки прилагаются. Регламент: по 4,5 часа на три задачи.

Как (не)правильно постить

Сразу отмечу следующее, хотя, наверное, и так уже понятно, но всё же, чтобы полностью снять экивоки. Большинство популярных контент-платформ (youtube, instagram) имеют рекомендательную ленту. Чтобы в неё попасть и там оставаться, нужно постить регулярно (= ежедневно). В телеграме другие механизмы продвижения и доставки контента (пока), поэтому писать можно как хочется, и ничего за это не будет. Конечно, пользователь сам может отписаться в любой момент, но алгоритмической дискриминации за нерегулярность не происходит. Чем я и пользуюсь. Другими словами, я объявляю все публикации НЕРЕГУЛЯРНЫМИ (это очень удобно 🙂), чтобы корректно управлять ожиданиями своей аудитории. Но не менее торжественно уточняю, что канал ЖИВ. А всем, кто с нами, огромное СПАСИБО!

Теперь продолжим математическую повестку с геометрии на клетчатой доске. В этот раз в «диагональном» варианте.

#олимпиады

Угловые соседи (#115)

Год в условии задачи

Интересной традицией для авторов олимпиадных задач является использование года проведения в условии. Чаще всего год можно заменить на произвольное n и решать задачу в общем виде. Иногда это условно общий случай, например, если используется делимость года на некоторое число.

Сегодня предлагаем задачу Московской олимпиады 1994 года для 8 класса. Если заменить в формулировке год на текущий, то получится очень простой случай. Поэтому мы оставили оригинальное условие и дополнительно предлагаем вам решить задачу в общем случае.

#олимпиады #игра

Игра в квадраты (#116)

Конструктивные и неконструктивные доказательства

Доказательства существования чего-либо (например, системы наименования улиц, или раскраски, как в сегодняшней задаче) бывают конструктивными и неконструктивными.

В первом случае объект, существование которого доказывается, предъявляется в явном виде.

В последнем случае лишь доказывается, что «суслик есть», хоть мы его и не видим. Например, так работает принцип Дирихле.

В решении приводятся оба варианта доказательства. Однако понятно, что с практической точки зрения ценнее конструктивный вариант.

#олимпиады #графы

Цветочный город (#117)

Задачи на чётность

Большой блок олимпиадных задач составляют задачи на чётность. Иногда она завуалирована, иногда задана явно, как здесь.

#олимпиады

Две клетки в минуту (#118)

Математика выборов

Не надо математикам со своими моделями лезть в политику, анализировать выборы, придумывать какие-то свои версии. Это просто смешно, когда математик рассуждает о выборах. Давайте еще биолога спросим! Или узнаем, что по поводу результатов выборов думает физик-ядерщик!

Виталий Иванов, политолог

Наиболее интересной с точки зрения статистики информацией о выборах являются распределение голосов и явка. Сегодняшняя задача касается проблемы увеличения явки, хотя с практической точки зрения, конечно, бесполезна.

Вообще, логично предположить, что чем выше явка, тем справедливее должны быть выборы, так как учитывается мнение большего количества людей (закон больших чисел). Про это ещё будет ВОПРОС.

#олимпиады #выборы

Умное голосование (#119)

Спасибо всем, кто поучаствовал в опросе! На эту тему есть интересный сюжет из лекции М. С. Гельфанда «Математика выборов».

Марабу

Когда я был школьником, были так называемые заочные школы, например, физтеховская ЗФТШ. Организовано было так: по почте (не электронной) участникам рассылались условия задач по физике и математике. Ученик их решал и оформлял в отдельной чистой тетрадке, которую затем отправлял обратно к определённому сроку. Учитель оставлял рецензию в той самой тетрадке и направлял почтой ученику. И так далее несколько раз.

Сейчас всё намного удобнее и эффективнее. Большая Математическая Игра от создателей «Умного лагеря Марабу» — это одновременно маткружок, онлайн-игра и коммьюнити с общим взглядом на мир и общим интересом к предмету. Где бы вы ни находились, вы (если вам от 10 до 14) или ваш ребёнок может присоединиться к игре — в неё играют дети из разных стран и школ.

https://bit.ly/39wa269

Для нового сезона организаторы сильно прокачали игру со всех сторон. Теперь БМИ — это ещё больше задач, новый дизайн, двухуровневый детализированный сюжет и расширенные возможности для командной игры. А также — индивидуальный подбор сложности задач и скорости прохождения, дорожная карта и командный чат (со второго месяца игры). Начало уже в октябре!

Пример реальной игровой задачи в сегодняшнем посте.

Первый месяц бесплатно!

#тервер

Кот и робот (#120)

«У математиков разное понимание красоты. То, что ты считаешь красивым, и повлияет на выбор области», — уверена декан факультета математики НИУ ВШЭ Александра Скрипченко.

В спецпроекте «Ученые норм!» поговорили с современными учеными-математиками и выяснили, как проходит их обычный день и какие задачи они решают прямо сейчас. О том, как математики помогают специалистам других наук и как оптимизируют систему навигации для нас с вами, что их мотивирует и что разочаровывает, — в этом видео: https://youtu.be/nHqsBLXtk0k

​​Парадокс раздела ставки

Почувствуйте себя основателями теории вероятностей Паскалем и Ферма абсолютно БЕЗВОЗМЕЗДНО.

Экскурс. В некотором смысле теория вероятностей как наука зародилась с решения этой задачи. Сама задача впервые была опубликована Лукой Пачоли в 1494 г. (итальянский математик, который в том числе ввёл принцип двойной записи (актив / пассив) для учёта, положив основу современной бухгалтерии). Сам он дал неверное решение этой задачи. Ошибся и Николла Тарталья (открывший формулу корней кубического уравнения). Правильный ответ независимо друг от друга дали Блез Паскаль и Пьер Ферма в 1654 г. (то есть спустя 160 лет).

В добавление замечу, что современная теория вероятностей как строгая математическая дисциплина оформилась с введением аксиоматики Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929 г.

Парадокс здесь коннотируется как контринтуитивное утверждение. О типах парадоксов было рассказано здесь.

#тервер #парадокс

Источник: Габор Секей – Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990)

Уточнение и разбор

Приятно удивило высокое количество участвовавших в голосовании / решении задачи, за что огромное спасибо!

Не приходила в голову мысль, что условие задачи можно неверно истолковать, но понял, что можно, поэтому поясню правило начисления очков при игре в монету из предыдущей задачи:

За каждым игроком до начала игры фиксируется сторона монеты. За ход монета подбрасывается один раз. Одно очко добавляется игроку, чья сторона совпала с выпавшей стороной монеты, а другой игрок остаётся при своих.

Я считал, что это дефолтное толкование этой игры. Вспомним хотя бы арбитра футбольных матчей. Но это моё личное мнение.

Вопрос о справедливости в некотором смысле философский, так как ситуация неоконченной игры правилами априори не регламентирована. Ставку разделить необходимо, продолжить игру в будущем нельзя.

Разбор и комментарии по каждому из вариантов.

С Новым годом 2022 🌟

Друзья, поздравляем вас с наступающими праздниками.

Наш канал на данный момент – это хобби четырёх людей: двух математиков и двух иллюстраторов. Мы ведём Матрешку потому, что нам это нравится, и потому, что это нравится не только нам. Мы уделяем большое внимание и содержанию, и форме. А на качественное оформление нужно время. Нам бы очень хотелось постить чаще, например, раз неделю, как было бы интересно большинству подписчиков, но пока этого не получается. Поэтому вам – СПАСИБО за то, что с нами.

И пусть у вас в Новом году хорошего времени будет намного больше, чем плохого.

#олимпиады

Придворный астролог (#122)

Просто, как раздватри

Матрешка на связи. Для разгона простенькая задачка на взвешивания. В отличие от классических задач весы здесь умеют не только сравнивать, но и определять массу. Мне эта задачка попалась на #интервью в #Совкомфлот в далёком 2015.

Шагать будем в ногу с веком, поэтому пробую новую фичу «скрытый текст» (или «spoiler formatting»). Всё просто, окаймляем убийца бухгалтер в двойную вертикальную черту. Не тестил обратную совместимость, поэтому, если вы сразу увидели решение, то вероятно нужно обновить клиент.

Монетный двор (#123): На монетном дворе работают 100 рабочих. Каждый день каждому рабочему выдаётся по 1 кг золота, из которого он должен изготовить 100 монет по 10 г. Стало известно, что один из рабочих делает фальшивые монеты — на 1 г легче. Как при помощи одного взвешивания точно определить прощелыгу?

Решение: Положим на весы n монет от n-го рабочего. Величина недостачи в граммах будет в точности равна номеру мошенника.

Best guess

Достаточно эффективный метод решения зачастую – это угадывание / нахождение правильного ответа, а затем его обоснование. Сегодняшняя задача про свечи перекликается с популярной в своё время на собеседованиях задачей про фитили, однако имеет другую идею решения.

#олимпиады

• Игра не стоит свеч (#124)
• Решение

35

Война такое несправедливое и дурное дело, что те, которые воюют, стараются заглушить в себе голос совести.

Л.Н. Толстой. Дневник. 6 января 1853

Больно от гибели людей. Мира всем. 🕊

Льву Николаевичу приписывают следующую задачку. Пруфов у меня нет. Но его авторство вполне вероятно, ибо у графа была своя школа в Ясной Поляне, и он сам написал учебник по арифметике. Итак, ситуация.

Задача Льва Толстого (#125)

Продавец продаёт шапку. Стоит 10 ₽. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 ₽. Продавец отсылает мальчика с этими 25 ₽ к соседке разменять. Мальчик прибегает, и отдаёт 10+10+5 ₽. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 ₽. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 ₽ фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать, продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.

Геометрия на клетчатой бумаге

С дискретной геометрией мы уже познакомились в задаче про примитивные треугольники. Теперь переходим к пятиугольникам.

#олимпиады

• Узел в пятиугольнике (#126)
• Решение

Задачи на клетчатой доске

Что мы умеем делать с простой клетчатой доской:

— конечно же, играть во что-то, напоминающее шахматы
— мостить
— записывать числа, получая что-то типа магического квадрата
— раскрашивать
— прочий вздор…

#олимпиады

• Доска 5 х 5 (#127)
• Решение