Год в условии задачи

Интересной традицией для авторов олимпиадных задач является использование года проведения в условии. Чаще всего год можно заменить на произвольное n и решать задачу в общем виде. Иногда это условно общий случай, например, если используется делимость года на некоторое число.

Сегодня предлагаем задачу Московской олимпиады 1994 года для 8 класса. Если заменить в формулировке год на текущий, то получится очень простой случай. Поэтому мы оставили оригинальное условие и дополнительно предлагаем вам решить задачу в общем случае.

#олимпиады #игра

Игра в квадраты (#116)

Конструктивные и неконструктивные доказательства

Доказательства существования чего-либо (например, системы наименования улиц, или раскраски, как в сегодняшней задаче) бывают конструктивными и неконструктивными.

В первом случае объект, существование которого доказывается, предъявляется в явном виде.

В последнем случае лишь доказывается, что «суслик есть», хоть мы его и не видим. Например, так работает принцип Дирихле.

В решении приводятся оба варианта доказательства. Однако понятно, что с практической точки зрения ценнее конструктивный вариант.

#олимпиады #графы

Цветочный город (#117)

Задачи на чётность

Большой блок олимпиадных задач составляют задачи на чётность. Иногда она завуалирована, иногда задана явно, как здесь.

#олимпиады

Две клетки в минуту (#118)

Математика выборов

Не надо математикам со своими моделями лезть в политику, анализировать выборы, придумывать какие-то свои версии. Это просто смешно, когда математик рассуждает о выборах. Давайте еще биолога спросим! Или узнаем, что по поводу результатов выборов думает физик-ядерщик!

Виталий Иванов, политолог

Наиболее интересной с точки зрения статистики информацией о выборах являются распределение голосов и явка. Сегодняшняя задача касается проблемы увеличения явки, хотя с практической точки зрения, конечно, бесполезна.

Вообще, логично предположить, что чем выше явка, тем справедливее должны быть выборы, так как учитывается мнение большего количества людей (закон больших чисел). Про это ещё будет ВОПРОС.

#олимпиады #выборы

Умное голосование (#119)

Спасибо всем, кто поучаствовал в опросе! На эту тему есть интересный сюжет из лекции М. С. Гельфанда «Математика выборов».

Марабу

Когда я был школьником, были так называемые заочные школы, например, физтеховская ЗФТШ. Организовано было так: по почте (не электронной) участникам рассылались условия задач по физике и математике. Ученик их решал и оформлял в отдельной чистой тетрадке, которую затем отправлял обратно к определённому сроку. Учитель оставлял рецензию в той самой тетрадке и направлял почтой ученику. И так далее несколько раз.

Сейчас всё намного удобнее и эффективнее. Большая Математическая Игра от создателей «Умного лагеря Марабу» — это одновременно маткружок, онлайн-игра и коммьюнити с общим взглядом на мир и общим интересом к предмету. Где бы вы ни находились, вы (если вам от 10 до 14) или ваш ребёнок может присоединиться к игре — в неё играют дети из разных стран и школ.

https://bit.ly/39wa269

Для нового сезона организаторы сильно прокачали игру со всех сторон. Теперь БМИ — это ещё больше задач, новый дизайн, двухуровневый детализированный сюжет и расширенные возможности для командной игры. А также — индивидуальный подбор сложности задач и скорости прохождения, дорожная карта и командный чат (со второго месяца игры). Начало уже в октябре!

Пример реальной игровой задачи в сегодняшнем посте.

Первый месяц бесплатно!

#тервер

Кот и робот (#120)

«У математиков разное понимание красоты. То, что ты считаешь красивым, и повлияет на выбор области», — уверена декан факультета математики НИУ ВШЭ Александра Скрипченко.

В спецпроекте «Ученые норм!» поговорили с современными учеными-математиками и выяснили, как проходит их обычный день и какие задачи они решают прямо сейчас. О том, как математики помогают специалистам других наук и как оптимизируют систему навигации для нас с вами, что их мотивирует и что разочаровывает, — в этом видео: https://youtu.be/nHqsBLXtk0k

​​Парадокс раздела ставки

Почувствуйте себя основателями теории вероятностей Паскалем и Ферма абсолютно БЕЗВОЗМЕЗДНО.

Экскурс. В некотором смысле теория вероятностей как наука зародилась с решения этой задачи. Сама задача впервые была опубликована Лукой Пачоли в 1494 г. (итальянский математик, который в том числе ввёл принцип двойной записи (актив / пассив) для учёта, положив основу современной бухгалтерии). Сам он дал неверное решение этой задачи. Ошибся и Николла Тарталья (открывший формулу корней кубического уравнения). Правильный ответ независимо друг от друга дали Блез Паскаль и Пьер Ферма в 1654 г. (то есть спустя 160 лет).

В добавление замечу, что современная теория вероятностей как строгая математическая дисциплина оформилась с введением аксиоматики Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929 г.

Парадокс здесь коннотируется как контринтуитивное утверждение. О типах парадоксов было рассказано здесь.

#тервер #парадокс

Источник: Габор Секей – Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990)

Уточнение и разбор

Приятно удивило высокое количество участвовавших в голосовании / решении задачи, за что огромное спасибо!

Не приходила в голову мысль, что условие задачи можно неверно истолковать, но понял, что можно, поэтому поясню правило начисления очков при игре в монету из предыдущей задачи:

За каждым игроком до начала игры фиксируется сторона монеты. За ход монета подбрасывается один раз. Одно очко добавляется игроку, чья сторона совпала с выпавшей стороной монеты, а другой игрок остаётся при своих.

Я считал, что это дефолтное толкование этой игры. Вспомним хотя бы арбитра футбольных матчей. Но это моё личное мнение.

Вопрос о справедливости в некотором смысле философский, так как ситуация неоконченной игры правилами априори не регламентирована. Ставку разделить необходимо, продолжить игру в будущем нельзя.

Разбор и комментарии по каждому из вариантов.

С Новым годом 2022 🌟

Друзья, поздравляем вас с наступающими праздниками.

Наш канал на данный момент – это хобби четырёх людей: двух математиков и двух иллюстраторов. Мы ведём Матрешку потому, что нам это нравится, и потому, что это нравится не только нам. Мы уделяем большое внимание и содержанию, и форме. А на качественное оформление нужно время. Нам бы очень хотелось постить чаще, например, раз неделю, как было бы интересно большинству подписчиков, но пока этого не получается. Поэтому вам – СПАСИБО за то, что с нами.

И пусть у вас в Новом году хорошего времени будет намного больше, чем плохого.

#олимпиады

Придворный астролог (#122)

Просто, как раздватри

Матрешка на связи. Для разгона простенькая задачка на взвешивания. В отличие от классических задач весы здесь умеют не только сравнивать, но и определять массу. Мне эта задачка попалась на #интервью в #Совкомфлот в далёком 2015.

Шагать будем в ногу с веком, поэтому пробую новую фичу «скрытый текст» (или «spoiler formatting»). Всё просто, окаймляем убийца бухгалтер в двойную вертикальную черту. Не тестил обратную совместимость, поэтому, если вы сразу увидели решение, то вероятно нужно обновить клиент.

Монетный двор (#123): На монетном дворе работают 100 рабочих. Каждый день каждому рабочему выдаётся по 1 кг золота, из которого он должен изготовить 100 монет по 10 г. Стало известно, что один из рабочих делает фальшивые монеты — на 1 г легче. Как при помощи одного взвешивания точно определить прощелыгу?

Решение: Положим на весы n монет от n-го рабочего. Величина недостачи в граммах будет в точности равна номеру мошенника.

Best guess

Достаточно эффективный метод решения зачастую – это угадывание / нахождение правильного ответа, а затем его обоснование. Сегодняшняя задача про свечи перекликается с популярной в своё время на собеседованиях задачей про фитили, однако имеет другую идею решения.

#олимпиады

• Игра не стоит свеч (#124)
• Решение

35

Война такое несправедливое и дурное дело, что те, которые воюют, стараются заглушить в себе голос совести.

Л.Н. Толстой. Дневник. 6 января 1853

Больно от гибели людей. Мира всем. 🕊

Льву Николаевичу приписывают следующую задачку. Пруфов у меня нет. Но его авторство вполне вероятно, ибо у графа была своя школа в Ясной Поляне, и он сам написал учебник по арифметике. Итак, ситуация.

Задача Льва Толстого (#125)

Продавец продаёт шапку. Стоит 10 ₽. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 ₽. Продавец отсылает мальчика с этими 25 ₽ к соседке разменять. Мальчик прибегает, и отдаёт 10+10+5 ₽. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 ₽. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 ₽ фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать, продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.

Геометрия на клетчатой бумаге

С дискретной геометрией мы уже познакомились в задаче про примитивные треугольники. Теперь переходим к пятиугольникам.

#олимпиады

• Узел в пятиугольнике (#126)
• Решение

Задачи на клетчатой доске

Что мы умеем делать с простой клетчатой доской:

— конечно же, играть во что-то, напоминающее шахматы
— мостить
— записывать числа, получая что-то типа магического квадрата
— раскрашивать
— прочий вздор…

#олимпиады

• Доска 5 х 5 (#127)
• Решение

В память о…

Сегодня проходит прощание с доктором физико-математических наук, профессором кафедры теории вероятностей механико-математического факультета Л.Г. Афанасьевой (14.09.1937 – 26.08.2022). Лариса Григорьевна изучала теорию очередей (queueing theory) или, как чаще говорят в русскоязычной литературе, теорию массового обслуживания и её применения в теории транспортных сетей. Под её руководством я защитил кандидатскую диссертацию по эргодичности (это такое хорошее свойство случайной системы) систем обслуживания одного специального типа. Стоит отметить, что теория очередей, как область теории вероятностей, не была популярна среди студентов в годы моего обучения (2000-е). Большинство студентов на кафедре среди прикладных направлений предпочитали финансовую и актуарную математику в общем-то по понятным причинам. К Ларисе Григорьевне меня привёл, с одной стороны, случай, а с другой, – вполне осознанный интерес и её авторитет на кафедре.

Уже будучи аспирантом восхищался её научной интуиции. Например, как-то раз во время обсуждения она заявила: «Я знаю, что эта система эргодична, но не знаю, как это доказать». Случалось и наоборот, когда какой-то результат удивлял Ларису Григорьевну, чему она искренне радовалась!

В общении со студентами и аспирантами Лариса Григорьевна подразумевала их хорошую осведомлённость и понимание предмета, что в моём отношении зачастую не соответствовало действительности. Примерно так читал академик А.Н. Колмогоров, полагая, что все его понимают, хотя понимали единицы или вообще никто. Это особый тип уважения – предполагать наличие у слушателя интеллекта, не уступающего своему.

Я расскажу сегодня о несложной, но занимательной задаче, которую Лариса Григорьевна задавала на одном из ранних студенческих семинаров. Для её решения потребуется начальное знание теории вероятностей на уровне функций распределения.

Светлая память 🤍

#тервер

• Случай на автобусной остановке
• Решение

Большая математическая игра

Марабу запустили новую Большую математическую игру! Приглашаются дети 10-13 лет прокачать математику в игровой форме. Почему большая? Длится весь учебный год, но вступить можно в любой момент.

Это обучающая игра для развития Math skills, темы разработаны русскими преподавателями математики с большим опытом, а задачи специально созданы с учетом возраста детей и постепенного усложнения уровня.

На мой взгляд, тематика задач очень интересная: теория графов, логика, криптография, комбинаторика, теория чисел. Всё это находит успешное применение в компьютерных науках и анализе данных – это если думать про будущее.

Из фишек: стратегии для одного игрока и для команд, квесты, HelpBot и чаты для общения.

• Игру можно проходить на русском или английском языке.
• Участие 4000 рублей в месяц, а дети из Украины — играют бесплатно.
• Первый пробный месяц игры — бесплатно для всех. Я бы обязательно сыграл, но мне «не скажу сколько» лет 🙃
• Главный приз — поездка в умный лагерь «Марабу»!

В игру! https://bit.ly/3SDAuPf

А пример реальной игровой задачи в сегодняшнем посте.

• Два бота и игрок
• Решение

❄️ Коха

Долго думал, что может быть новогоднего или хотя бы зимнего в математике, и ничего удачнее фрактальной снежинки не пришло в голову. Это наверное один из простейших математических фракталов, про который сейчас рассказывают даже ребятам в начальной школе. Строится он следующим образом.

В качестве исходной заготовки используем равносторонний треугольник. Далее рассмотрим любую сторону:

1. Поделим отрезок на три части:
_ _ _
2. На центральной части, как на стороне, возведём равносторонний треугольник, а основание сотрём:
_/\_
3. В итоге у нас получится четыре новых отрезка из исходной стороны, с каждым из которых мы проделаем операции 1-2 снова и снова.

В пределе получится кривая Коха. Вырастив данный «кристалл» на оставшихся сторонах заготовки, получим искомую снежинку.

Примечательно, что полученная фигура имеет бесконечный периметр, но конечную площадь. Граница снежинки настолько сложна, что имеет бесконечную длину между любыми двумя точками, как бы близко вы их не старались выбрать. Таким образом, получилось нечто более богатое, чем линейный объект (размерности 1), но беднее объектов плоских (размерности 2). Математики такие объекты характеризуют размерностью дробной, но об этом постараемся рассказать в новом году.

Нашу новогоднюю задачку я придумал сам, так как найти по теме что-то занятное не получилось. Сам придумал – сам решил. Показалось просто. Однако в процессе оформления осознал, что решил задачу неправильно. Более того, возникшая сложность мне кажется непреодолимой для аналитического решения. Буду благодарен сообществу за правильное решение, а пока, сможете ли вы найти изъян в моём? Как говорится в одном известном меме с Ди Каприо «we need to go deeper», поэтому сегодняшняя задача – это решение.

С наступающим Новым годом, добра и счастья вам и вашим близким 🎄

И огромное спасибо за то, что остаётесь с нами 💛

• Заяц на снежинке Коха
• Софизм