(Нижний синий треугольник это уже "меньший красный+меньший синий", и добавление ещё одного "меньшего красного" превращает его обратно в красный)
Итак, из синих и красных треугольников можно сделать подобные им и в Ф раз большие синие и красные треугольники.
А давайте повторять эту процедуру, например, начиная с одного красного треугольника —
И раз красный треугольник был в углу своего образа — то каждый следующий образ (по индукции) продолжает предыдущий.
Математические байки
Вот первые несколько образов: w_1=А w_2=АБ w_3=АБА w_4=АБААБ w_5=АБААБАБА Явно видно, что следующее слово продолжает предыдущее — что мгновенно доказывается по индукции. Значит, есть одно бесконечное слово, у которого все эти слова являются началами. Это…
Точно так же, как образы А при итерации подстановочного отображения продолжали друг друга.
И точно так же, как из их итераций в пределе получалось бесконечное (вправо) слово — тут мы получим замощение угла в 36 градусов на плоскости:
А объединив 10 таких углов — получим и разбиение всей плоскости.
И получающееся замощение — "квазипериодично". С одной стороны, отношение количеств красных и синих треугольников в больших кусочках этого замощения стремится... конечно же, к золотому сечению Ф.
Потому что количество красных и синих треугольников в образе красного или синего треугольника после n замен это пара последовательных чисел Фибоначчи (упражнение: докажите это!)
А раз наше замощение режется на красные и синие треугольники — то оно режется и на, скажем, их 5-е образы, в каждом из которых отношение количеств К:С близко к Ф. А если недостаточно близко, то можно резать на 10-е образы, или на 20-е...
Поэтому периодичным оно быть не может: Ф иррационально.
С другой стороны, любой конечный кусочек замощения, который хоть где-то встречается, встречается достаточно регулярно. Потому что он содержится в образе красного треугольника после какого-то числа n замен, а красные треугольники (а значит, и их образы) "есть везде".
Формально — найдётся R, такое, что в любом круге радиуса R найдётся копия n-кратного образа красного треугольника.
Математические байки
Photo
Кстати — как можно увидеть из этой картинки, после нескольких (шести, если я не обсчитался) замен мы получаем 10 красных треугольников, образующих круг. Поэтому, применив предыдущее утверждение к n+6 вместо n, можно ещё к этому добавить, что есть не только копия, а копия в любом из 10 возможных поворотов на кратные 36 градусам углы.
А вот обладающая таким же свойством мозаика Пенроуза (разбиение плоскости на ромбы двух типов, тоже квазипериодичное):