В прошлый раз я рассказывал о подстановочных словах и о слове Фибоначчи в частности — но совсем не рассказал о связанных с этим квазипериодических паркетах, а это простая и геометрическая история.
Давайте проведём в правильном пятиугольнике три диагонали, и посмотрим, какие у нас получатся треугольники:
Оба треугольника, и красный, и синий — равнобедренные. Если взять короткую сторону за 1, то у синего стороны — это 1,1,Ф, а у красного — Ф,Ф,1, где Ф — золотое сечение.
То, что Ф это именно золотое сечение, несложно увидеть из того, что большой треугольник BCD, который они образуют вместе, подобен синему. И получается (из стороны BD) классическое уравнение Ф^2=Ф+1.
Но я не стал бы рассказывать столь классические (пару тысяч лет как) вещи, если бы тут не происходило чего-нибудь более интересного. А именно: пока мы из одного красного и одного синего треугольника сделали треугольник, подобный синему с коэффициентом Ф.
Так вот, из двух красных и одного синего треугольника можно сделать треугольник, подобный красному. С тем же самым коэффициентом подобия!
Так вот, из двух красных и одного синего треугольника можно сделать треугольник, подобный красному. С тем же самым коэффициентом подобия!
И увидеть это можно внутри всё того же правильного пятиугольника, проведя ещё одну диагональ (и мысленно сжав всё в Ф раз):
(Нижний синий треугольник это уже "меньший красный+меньший синий", и добавление ещё одного "меньшего красного" превращает его обратно в красный)
Итак, из синих и красных треугольников можно сделать подобные им и в Ф раз большие синие и красные треугольники.
А давайте повторять эту процедуру, например, начиная с одного красного треугольника —
И раз красный треугольник был в углу своего образа — то каждый следующий образ (по индукции) продолжает предыдущий.
Математические байки
Вот первые несколько образов: w_1=А w_2=АБ w_3=АБА w_4=АБААБ w_5=АБААБАБА Явно видно, что следующее слово продолжает предыдущее — что мгновенно доказывается по индукции. Значит, есть одно бесконечное слово, у которого все эти слова являются началами. Это…
Точно так же, как образы А при итерации подстановочного отображения продолжали друг друга.
И точно так же, как из их итераций в пределе получалось бесконечное (вправо) слово — тут мы получим замощение угла в 36 градусов на плоскости:
А объединив 10 таких углов — получим и разбиение всей плоскости.