= премия президента 😊

шкаф с объектами создан Saul Schleimer, https://homepages.warwick.ac.uk/~masgar/talks_and_exhibits.html#art

he also holds art exhibitions

(of math objects)

И эту страничку действительно стоит посмотреть — скажем, там лежат очень красивые слайды про квартику Клейна,
https://homepages.warwick.ac.uk/~masgar/Talks/2015-08-29klein_uiuc.pdf

(Ту же, про которую недавно писали коллеги)

еще одна картинка про квартику Клейна

А ещё — оказывается, каналу "баек" исполнилось уже полгода!

И — сегодняшняя байка, которую мне давно хотелось записать, это рассказ про высоты треугольника.

Вот есть одна из первых теорем классической геометрии, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Все её знают.
А будет ли она верна в сферической геометрии? Или (для тех, кто с ней знаком) на плоскости Лобачевского?

Оказывается, что — да, будет. На сфере совсем, а на плоскости Лобачевского с одной оговоркой, о которой после.
И у этого факта я знаю два разных объяснения: одно от В. И. Арнольда, и совершенно другое — от А. Г. Хованского.

Давайте начнём со случая сферы: пусть на сфере с центром O отмечены три точки A, B и С. Они образуют треугольник — в котором можно проводить высоты AH_A, BH_B, CH_C. И хорошо бы как-то научиться со всем этим работать.

(Например, понятно, что если треугольник "маленький", то геометрия там почти евклидова, и высоты "в первом приближении" относительно размеров треугольника должны пересечься в одной точке. Но то в первом приближении, а утверждается-то точное равенство...)

Для начала — а что такое прямая на сфере? Это дуга большого круга, сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы. Иными словами — экватор.

А если есть экватор, то есть и полюса — и между парами противоположных точек на сфере ("полюсами") и экваторами, очевидно, есть взаимно-однозначное соответствие (а именно — прямая, проходящая через "полюса", это ортогональное дополнение к плоскости, высекающей экватор).

Как устроен полюс P_C, отвечающий "экватору"-дуге AB? Это направление, перпендикулярное плоскости OAB — то есть задаваемое векторным произведением [OAxOB].

А чем ещё хороши полюса? Тем, что перпендикуляры к экватору — это меридианы. И все меридианы проходят через полюса!
Точнее, дуга большого круга перпендикулярна экватору тогда и только тогда, когда она проходит через полюс.

То есть высота CH_C — это та же прямая (на сфере), что и CP_C

Опять рассматривая уже соответствующий ей полюса, видим, что они лежат на прямой, задаваемой векторным произведением [OCxOH_C]. А раз OH_C пропорционально [OAxOB], то эти полюса высекаются на сфере прямой (в пространстве), задающейся направлением-"двойным" произведением:
[OCx[OAxOB]].

Теперь, три "экватора" пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда у содержащих их плоскостей в R^3 есть нетривиальное пересечение — и это равносильно тому, что прямые-ортогональные дополнения к этим плоскостям лежат в одной плоскости.

(Возможно, вам уже попадалось аналогичное утверждение из полюс-полярной двойственности: три прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда их полюса лежат на одной прямой; это, конечно, о том же.)