еще одна картинка про квартику Клейна

А ещё — оказывается, каналу "баек" исполнилось уже полгода!

И — сегодняшняя байка, которую мне давно хотелось записать, это рассказ про высоты треугольника.

Вот есть одна из первых теорем классической геометрии, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Все её знают.
А будет ли она верна в сферической геометрии? Или (для тех, кто с ней знаком) на плоскости Лобачевского?

Оказывается, что — да, будет. На сфере совсем, а на плоскости Лобачевского с одной оговоркой, о которой после.
И у этого факта я знаю два разных объяснения: одно от В. И. Арнольда, и совершенно другое — от А. Г. Хованского.

Давайте начнём со случая сферы: пусть на сфере с центром O отмечены три точки A, B и С. Они образуют треугольник — в котором можно проводить высоты AH_A, BH_B, CH_C. И хорошо бы как-то научиться со всем этим работать.

(Например, понятно, что если треугольник "маленький", то геометрия там почти евклидова, и высоты "в первом приближении" относительно размеров треугольника должны пересечься в одной точке. Но то в первом приближении, а утверждается-то точное равенство...)

Для начала — а что такое прямая на сфере? Это дуга большого круга, сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы. Иными словами — экватор.

А если есть экватор, то есть и полюса — и между парами противоположных точек на сфере ("полюсами") и экваторами, очевидно, есть взаимно-однозначное соответствие (а именно — прямая, проходящая через "полюса", это ортогональное дополнение к плоскости, высекающей экватор).

Как устроен полюс P_C, отвечающий "экватору"-дуге AB? Это направление, перпендикулярное плоскости OAB — то есть задаваемое векторным произведением [OAxOB].

А чем ещё хороши полюса? Тем, что перпендикуляры к экватору — это меридианы. И все меридианы проходят через полюса!
Точнее, дуга большого круга перпендикулярна экватору тогда и только тогда, когда она проходит через полюс.

То есть высота CH_C — это та же прямая (на сфере), что и CP_C

Опять рассматривая уже соответствующий ей полюса, видим, что они лежат на прямой, задаваемой векторным произведением [OCxOH_C]. А раз OH_C пропорционально [OAxOB], то эти полюса высекаются на сфере прямой (в пространстве), задающейся направлением-"двойным" произведением:
[OCx[OAxOB]].

Теперь, три "экватора" пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда у содержащих их плоскостей в R^3 есть нетривиальное пересечение — и это равносильно тому, что прямые-ортогональные дополнения к этим плоскостям лежат в одной плоскости.

(Возможно, вам уже попадалось аналогичное утверждение из полюс-полярной двойственности: три прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда их полюса лежат на одной прямой; это, конечно, о том же.)

Итак, нам нужно проверить, что три вектора -- "двойные" произведения
[OCx[OAxOB]], [OAx[OBxOC]] и [OBx[OCxOA]] --
лежат в одной плоскости. Но тождество Якоби — собственно, чуть ли не самое важное тождество для векторных произведений, а потом и для алгебр Ли — утверждает, что их сумма равна нулю!

Всё, конец доказательства: три полюса лежат на одной дуге большого круга — три высоты пересекаются в одной точке.

Это — "Арнольдовское" рассуждение.
А вот второе, совершенно другое.

Давайте возьмём на сфере какую-нибудь точку P, проведём в ней касательную плоскость π и на эту плоскость всю картинку центрально спроецируем.

Тогда дуги большого круга, которые высекаются на сфере проходящими через её центр O плоскостями, перейдут в прямые, высекаемые этими же плоскостями на π.

Но вот с углами будет твориться тихий ужас. И когда я в первый раз услышал это начало рассуждения, я не мог поверить, что тут что-то можно так сделать. Ан нет, можно.