То есть высота CH_C — это та же прямая (на сфере), что и CP_C

Опять рассматривая уже соответствующий ей полюса, видим, что они лежат на прямой, задаваемой векторным произведением [OCxOH_C]. А раз OH_C пропорционально [OAxOB], то эти полюса высекаются на сфере прямой (в пространстве), задающейся направлением-"двойным" произведением:
[OCx[OAxOB]].

Теперь, три "экватора" пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда у содержащих их плоскостей в R^3 есть нетривиальное пересечение — и это равносильно тому, что прямые-ортогональные дополнения к этим плоскостям лежат в одной плоскости.

(Возможно, вам уже попадалось аналогичное утверждение из полюс-полярной двойственности: три прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда их полюса лежат на одной прямой; это, конечно, о том же.)

Итак, нам нужно проверить, что три вектора -- "двойные" произведения
[OCx[OAxOB]], [OAx[OBxOC]] и [OBx[OCxOA]] --
лежат в одной плоскости. Но тождество Якоби — собственно, чуть ли не самое важное тождество для векторных произведений, а потом и для алгебр Ли — утверждает, что их сумма равна нулю!

Всё, конец доказательства: три полюса лежат на одной дуге большого круга — три высоты пересекаются в одной точке.

Это — "Арнольдовское" рассуждение.
А вот второе, совершенно другое.

Давайте возьмём на сфере какую-нибудь точку P, проведём в ней касательную плоскость π и на эту плоскость всю картинку центрально спроецируем.

Тогда дуги большого круга, которые высекаются на сфере проходящими через её центр O плоскостями, перейдут в прямые, высекаемые этими же плоскостями на π.

Но вот с углами будет твориться тихий ужас. И когда я в первый раз услышал это начало рассуждения, я не мог поверить, что тут что-то можно так сделать. Ан нет, можно.

Дело в том, что прямые углы в одной ситуации сохраняются.
Лемма. Две дуги большого круга, одна из которых проходит через точку P, перпендикулярны на сфере тогда и только тогда, когда перпендикулярны на плоскости прямые, являющиеся их центральными проекциями.

И доказательство у этого очень простое. Дело в том, что быть перпендикулярным прямой m — это всё равно, что сохраняться симметрией относительно этой прямой.

Но если прямая проходит через точку P, то мы можем взять всю картину — сферу+касательную плоскость π в этой точке — и отразить её относительно той плоскости, что высекает прямую m.

Так что если сохранится дуга большого круга на сфере — то сохранится и её проекция на плоскость π, и наоборот.

А значит, угол прямой до проекции тогда и только тогда, когда после.

И теперь у нас есть прекрасная возможность сослаться на теорему о высотах евклидовой геометрии!

А именно — давайте возьмём в качестве точки P точку пересечения каких-нибдь двух из трёх высот, например, AH_A и BH_B.

Тогда в проекции исходного треугольника мы получим евклидов треугольник, а проекции дуг большого круга AH_A и BH_B будут его высотами: они проходят через точку P, а значит, перпендикулярность им сохраняется.

Но тогда и третья высота евклидова треугольника проходит через ту же точку!

А значит, спроецировав её обратно на сферу (перпендикулярность сохраняется!), мы получим высоту CH_C, проходящую через ту же точку P.

Всё, победа!