Итак, нам нужно проверить, что три вектора -- "двойные" произведения
[OCx[OAxOB]], [OAx[OBxOC]] и [OBx[OCxOA]] --
лежат в одной плоскости. Но тождество Якоби — собственно, чуть ли не самое важное тождество для векторных произведений, а потом и для алгебр Ли — утверждает, что их сумма равна нулю!
[OCx[OAxOB]], [OAx[OBxOC]] и [OBx[OCxOA]] --
лежат в одной плоскости. Но тождество Якоби — собственно, чуть ли не самое важное тождество для векторных произведений, а потом и для алгебр Ли — утверждает, что их сумма равна нулю!
Всё, конец доказательства: три полюса лежат на одной дуге большого круга — три высоты пересекаются в одной точке.
Это — "Арнольдовское" рассуждение.
А вот второе, совершенно другое.
А вот второе, совершенно другое.
Давайте возьмём на сфере какую-нибудь точку P, проведём в ней касательную плоскость π и на эту плоскость всю картинку центрально спроецируем.
Тогда дуги большого круга, которые высекаются на сфере проходящими через её центр O плоскостями, перейдут в прямые, высекаемые этими же плоскостями на π.
Но вот с углами будет твориться тихий ужас. И когда я в первый раз услышал это начало рассуждения, я не мог поверить, что тут что-то можно так сделать. Ан нет, можно.
Дело в том, что прямые углы в одной ситуации сохраняются.
Лемма. Две дуги большого круга, одна из которых проходит через точку P, перпендикулярны на сфере тогда и только тогда, когда перпендикулярны на плоскости прямые, являющиеся их центральными проекциями.
Лемма. Две дуги большого круга, одна из которых проходит через точку P, перпендикулярны на сфере тогда и только тогда, когда перпендикулярны на плоскости прямые, являющиеся их центральными проекциями.
И доказательство у этого очень простое. Дело в том, что быть перпендикулярным прямой m — это всё равно, что сохраняться симметрией относительно этой прямой.
Но если прямая проходит через точку P, то мы можем взять всю картину — сферу+касательную плоскость π в этой точке — и отразить её относительно той плоскости, что высекает прямую m.
Так что если сохранится дуга большого круга на сфере — то сохранится и её проекция на плоскость π, и наоборот.
А значит, угол прямой до проекции тогда и только тогда, когда после.
И теперь у нас есть прекрасная возможность сослаться на теорему о высотах евклидовой геометрии!
А именно — давайте возьмём в качестве точки P точку пересечения каких-нибдь двух из трёх высот, например, AH_A и BH_B.
Тогда в проекции исходного треугольника мы получим евклидов треугольник, а проекции дуг большого круга AH_A и BH_B будут его высотами: они проходят через точку P, а значит, перпендикулярность им сохраняется.
Но тогда и третья высота евклидова треугольника проходит через ту же точку!
А значит, спроецировав её обратно на сферу (перпендикулярность сохраняется!), мы получим высоту CH_C, проходящую через ту же точку P.
Точнее, и то, и другое мне рассказывали в [более сложном] варианте "для плоскости Лобачевского" — откуда вернуться на сферу совсем просто.
Арнольдовское рассуждение в этом случае использовало тождество Якоби для матриц 2x2 — и его можно посмотреть в его статье в Мат. просвещении: http://mi.mathnet.ru/mp165
А рассуждение Хованского — модель Клейна в диске вместо центральной проекции. А именно, в модели Клейна прямым плоскости Лобачевского соответствуют отрезки. И если из двух прямых хотя бы одна проходит через евклидов центр P диска-модели, то их перпендикулярность в плоскости Лобачевского равносильна перпендикулярности в евклидовом смысле.