И доказательство у этого очень простое. Дело в том, что быть перпендикулярным прямой m — это всё равно, что сохраняться симметрией относительно этой прямой.

Но если прямая проходит через точку P, то мы можем взять всю картину — сферу+касательную плоскость π в этой точке — и отразить её относительно той плоскости, что высекает прямую m.

Так что если сохранится дуга большого круга на сфере — то сохранится и её проекция на плоскость π, и наоборот.

А значит, угол прямой до проекции тогда и только тогда, когда после.

И теперь у нас есть прекрасная возможность сослаться на теорему о высотах евклидовой геометрии!

А именно — давайте возьмём в качестве точки P точку пересечения каких-нибдь двух из трёх высот, например, AH_A и BH_B.

Тогда в проекции исходного треугольника мы получим евклидов треугольник, а проекции дуг большого круга AH_A и BH_B будут его высотами: они проходят через точку P, а значит, перпендикулярность им сохраняется.

Но тогда и третья высота евклидова треугольника проходит через ту же точку!

А значит, спроецировав её обратно на сферу (перпендикулярность сохраняется!), мы получим высоту CH_C, проходящую через ту же точку P.

Всё, победа!

И вот это рассуждение я знаю от Хованского.

Точнее, и то, и другое мне рассказывали в [более сложном] варианте "для плоскости Лобачевского" — откуда вернуться на сферу совсем просто.

Арнольдовское рассуждение в этом случае использовало тождество Якоби для матриц 2x2 — и его можно посмотреть в его статье в Мат. просвещении: http://mi.mathnet.ru/mp165

А рассуждение Хованского — модель Клейна в диске вместо центральной проекции. А именно, в модели Клейна прямым плоскости Лобачевского соответствуют отрезки. И если из двух прямых хотя бы одна проходит через евклидов центр P диска-модели, то их перпендикулярность в плоскости Лобачевского равносильна перпендикулярности в евклидовом смысле.

Но — я обещал одну оговорку. Дело в том, что в собственно плоскости Лобачевского высоты могут... не пересечься совсем.

В смысле модели Клейна это несложно увидеть — достаточно взять треугольник, у которого одна из вершин это евклидов центр диска P (и тем самым две его евклидовых высоты это и его высоты в смысле плоскости Лобачевского), и при этом который достаточно "тупоугольный" и "большой", чтобы точка евклидова пересечения высот попала бы за диск-модель.

В этом случае можно (во внутренних терминах геометрии Лобачевского) сказать, что у всех трёх высот есть общая перпендикулярная им прямая — или можно, следуя Арнольду, считать, что плоскость Лобачевского это часть плоскости со "знакоопределённой" метрикой, за которой есть релятивистский мир де Ситтера —

Скриншот отсюда — https://math.ru/lib/files/pdf/mehmat/mm3.pdf

(И мне кажется, там интересно посмотреть всё интервью; отдельно трогательны рисунки, сделанные рукой самого В.И.А.)

Кстати — такая же картинка есть и в "Мат. понимании природы" В.И.А.,
https://www.mccme.ru/free-books/arnold/VIA-mpp.pdf