Для прямой короткой иголки ничего не изменится: пересечений может быть либо 0, либо 1, поэтому вероятность и математическое ожидание тут совпадают.

Так вот, несложно убедиться, что математическое ожидание пропорционально её длине. Потому что — если разбить иголку на несколько частей, то матожидание числа пересечений для всей иголки равно сумме матожиданий для частей (потому что каждая отдельная часть при бросании всей иголки тоже приземляется случайным образом; разные части зависимы, конечно, но аддитивности матожидания это не мешает).

Поэтому для прямой иголки число пересечений это аддитивная функция от её длины L — то есть c*L для некоторой константы c (если считать, что расстояние D между линиями фиксировано).
А любую (гладкую) иголку можно разбить на много-много маленьких почти-прямых кусочков, и их будет столько же, сколько и для прямой иголки такой же длины — а значит, и матожидание будет таким же.

Итак, матожидание числа пересечений для кривой длины L равно c*L — где c от кривой не зависит. Осталось его найти.

Так вот, давайте возьмём в качестве кривой иглы — окружность диаметра, равного расстоянию между линиями!

Она всегда пересекает линии ровно в двух точках.

Значит, матожидание равно 2. Ну а длина этой кривой — L=πD. Отсюда c=2/(πD).

И тем самым уже для любой кривой длины L матожидание числа пересечений равно 2L/πD.

Всё!

Эта история, которую я узнал из лекции Ингрид Добеши (https://www.youtube.com/watch?v=Z19uz6Bol3I&feature=youtu.be&t=160 ) на ICM-2018 в Рио — не совсем про математику, а про её применение в искусстве.

Там было несколько сюжетов, но один из них — про холсты картин и преобразование Фурье. И мне кажется, это очень крутая история. (Я её пересказывал некоторое время назад, но в более узком кругу, и поскольку очень эту историю люблю — позволю себе повторить и тут.)

Картины пишут на холстах, на ткани (хорошо, не только — но забудем про все остальные варианты). Причём эту ткань обрабатывают свинцовыми белилами — чтобы она впитывала краску чуть менее сильно. А свинцовые белила (и потому и нити холста) хорошо видны на рентгене:

(Тут и позитив и негатив.)

Образуется периодическая структура. И несложно объяснить компьютеру, как искать её периоды, вертикальный и горизонтальный: через преобразование Фурье.
(Коллега комментирует, что можно научить компьютер считать частоту и ещё разными способами, а преобразование Фурье это скорее тот самый универсальный молоток, которым можно делать много что, в том числе и это; но раз в лекции Добеши Фурье, то я скажу "Фурье".)

Так вот, самое интересное.
Холст тех времён штука неидеальная, расстояния между нитями могут быть чуть больше или чуть меньше, угол может быть чуть больше или чуть меньше, и так далее. Можно раскрасить картину по таким характеристикам — и получить раскраски для горизонтальных нитей и для вертикальных:

Берём две картины, которые Ван Гог нарисовал примерно в одно и то же время. Смотрим на раскраску —

Он (как и многие художники) покупал холст в больших рулонах, а потом из рулона вырезал кусок для картины!
И все эти параметры, все эти раскраски оказываются "цифровыми отпечатками" рулонов холста.

То есть в руках у искусствоведов оказывается возможность выяснять, что две разные картины нарисованы на кусках холста, вырезанных из одного и того же большого рулона.