И если длины кусочков сильно разные (если отношение их логарифмов большое) — то функция уже не выпуклая:

Ну и следующий вопрос — хорошо, выпуклой функция не будет, вот пример. А насколько плохой она может быть, может ли у неё быть много точек перегиба?

Ответ: свежая теорема Оливера Дженкинсона, Марка Полликотта и Полины Вытновой, которой Марк завершил доклад, говорит, что точек перегиба действительно может быть сколь угодно много.

Только аффинно-растягивающихся кусочков нужно брать уже не два, а сильно больше.

Да, а название для таких отображений — cookie cutters, "формочки для печенья" — придумал замечательный математик Дэннис Салливан ( https://ru.wikipedia.org/wiki/Салливан,_Деннис )

Ну и на этом месте, кажется, эту байку правильно завершить.

===
Поскольку рассказ выше получился явно сложным — в дополнение к нему, байка о формуле Стирлинга (раз уж я её упомянул) и формуле суммирования Эйлера-Маклорена. Точнее, начало байки (ибо там рассказывать можно много).

Вот у нас есть n!. Это произведение 1*2*...*n.

Формула Стирлинга его оценивает — причём делает это асимптотически точно, отношение n! к \sqrt{2\pi n}*(n/e)^n стремится к 1 с ростом n.

Как такую оценку можно получить?

Есть очень хороший рефлекс: "видишь длинное произведение — прологарифмируй!".

Потому что логарифм превращает произведение в сумму, а с суммой работать значительно проще.

Применив его — мы видим, что мы хотим понять, как себя ведёт
ln n! = ln 1 + ln 2 + ... + ln n.

И уже сразу видно, что она напоминает интегральную сумму Римана для интеграла от логарифма:

А какая у логарифма первообразная? Поскольку логарифм меняется чем дальше, тем медленнее, естественно взять x*(ln x) в качестве первого приближения; но
[x*(ln x)]'= ln x + x*[(ln x)'] = ln x +1,
так что нужно первообразную лишней единицы вычесть — получается (x*ln x -x)

(Конечно, это называется "взять интеграл по частям", но тут эта выкладка ещё и естественно мотивируется.)