А с другой стороны, при n, стремящемся к бесконечности, факториал в знаменателе забивает экспоненту в числителе. Поэтому подынтегральная функция равномерно стремится к 0.
И при достаточно большом n значение интеграла одновременно целое и заключено между 0 и 1. Противоречие.
И при достаточно большом n значение интеграла одновременно целое и заключено между 0 и 1. Противоречие.
Вот. Это доказательство короткое и хорошее — но его сложно придумать "с нуля". А есть исторически первое доказательство Ламберта, придуманное в 1760-е (и, собственно, ради него я эту байку и рассказываю). В котором есть одна идея — но смысловая — и из которого много что ещё получается.
Эта идея — "давайте разложим тангенс в цепную дробь". И да, в цепные дроби можно раскладывать не только числа, но и функции.
А именно: как устроено обычное разложение в цепную дробь? Есть "большие и дискретные" целые числа Z, и есть "маленькие" числа — полуинтервал A=[0,1). Берём какое-то начальное число, вычитанием элемента из Z приносим его на A, "переворачиваем" применением 1/x, и так повторяем много-много раз.
Так вот, давайте работать с функциями, определёнными (и "хорошими"-аналитическими) в окрестности точки x=0.
В роли целых чисел как чего-то "большого" выступит кольцо R[1/x] многочленов от (1/x). А в роли "маленького" множества A — функции, обращающиеся в точке x=0 в ноль.
В роли целых чисел как чего-то "большого" выступит кольцо R[1/x] многочленов от (1/x). А в роли "маленького" множества A — функции, обращающиеся в точке x=0 в ноль.
Да, пока я не убежал вперёд — если вдруг вы не видели брошюру В. И. Арнольда "Цепные дроби", https://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/#book-14 — то я очень советую её посмотреть!
Так вот, давайте применим алгоритм разложения к функции f(x)=tg x. Почему? Ну точно так же, как в ряд Тейлора, когда он придуман, имеет смысл пытаться раскладывать всё подряд — вдруг где что красивое попадётся, — и запоминать удачные результаты, точно так же почему бы в цепную дробь не пораскладывать всё подряд, например, тангенс?
Итак, функция tg x уже "маленькая":
tg x = x + x^3/3+ ... ;
перевернём её. Получается котангенс.
ctg x при x->0 "взрывается" как 1/x; вычтем и посмотрим, что останется:
ctg x - 1/x = -x/3 + ... ;
(упражнение — проверьте!).
tg x = x + x^3/3+ ... ;
перевернём её. Получается котангенс.
ctg x при x->0 "взрывается" как 1/x; вычтем и посмотрим, что останется:
ctg x - 1/x = -x/3 + ... ;
(упражнение — проверьте!).
Перевернув, получаем (-3/x). Продолжая в том же духе — а это, в каком-то смысле, чисто механическая деятельность — находим первые несколько членов разложения (не касаясь пока вопроса его сходимости):
Первые три элемента цепной дроби выглядят достаточно заманчиво, чтобы посчитать следующий. И действительно —
Итак, вне зависимости от собственно иррациональности числа π, с которой мы начинали, мы (пока чисто экспериментально) обнаружили замечательный факт: функция тангенс очень красиво разлагается в цепную дробь.
Теперь нам осталось сделать две вещи:
1) доказать это разложение (что мы отложим напоследок)
и
2) понять, какое же отношение оно имеет к иррациональности π.
Но даже прежде, чем всё это сделать — давайте "уйдём в радиалку" и вместо функции "тангенс" посмотрим на функцию "тангенс гиперболический".
1) доказать это разложение (что мы отложим напоследок)
и
2) понять, какое же отношение оно имеет к иррациональности π.
Но даже прежде, чем всё это сделать — давайте "уйдём в радиалку" и вместо функции "тангенс" посмотрим на функцию "тангенс гиперболический".
Можно повторить те же выкладки (и опять угадать ответ), а можно сказать, что tanh x = i tg (x/i), и подставив это в предыдущее разложение, увидеть, что просто знаки перед дробями поменяются:
С другой, мы получаем (если верить в сходимость) самую настоящую, классическую цепную дробь — ведь элементы (2k+1)/x-то уже все натуральные: