Итак, функция tg x уже "маленькая":
tg x = x + x^3/3+ ... ;
перевернём её. Получается котангенс.
ctg x при x->0 "взрывается" как 1/x; вычтем и посмотрим, что останется:
ctg x - 1/x = -x/3 + ... ;
(упражнение — проверьте!).
tg x = x + x^3/3+ ... ;
перевернём её. Получается котангенс.
ctg x при x->0 "взрывается" как 1/x; вычтем и посмотрим, что останется:
ctg x - 1/x = -x/3 + ... ;
(упражнение — проверьте!).
Перевернув, получаем (-3/x). Продолжая в том же духе — а это, в каком-то смысле, чисто механическая деятельность — находим первые несколько членов разложения (не касаясь пока вопроса его сходимости):
Первые три элемента цепной дроби выглядят достаточно заманчиво, чтобы посчитать следующий. И действительно —
Итак, вне зависимости от собственно иррациональности числа π, с которой мы начинали, мы (пока чисто экспериментально) обнаружили замечательный факт: функция тангенс очень красиво разлагается в цепную дробь.
Теперь нам осталось сделать две вещи:
1) доказать это разложение (что мы отложим напоследок)
и
2) понять, какое же отношение оно имеет к иррациональности π.
Но даже прежде, чем всё это сделать — давайте "уйдём в радиалку" и вместо функции "тангенс" посмотрим на функцию "тангенс гиперболический".
1) доказать это разложение (что мы отложим напоследок)
и
2) понять, какое же отношение оно имеет к иррациональности π.
Но даже прежде, чем всё это сделать — давайте "уйдём в радиалку" и вместо функции "тангенс" посмотрим на функцию "тангенс гиперболический".
Можно повторить те же выкладки (и опять угадать ответ), а можно сказать, что tanh x = i tg (x/i), и подставив это в предыдущее разложение, увидеть, что просто знаки перед дробями поменяются:
С другой, мы получаем (если верить в сходимость) самую настоящую, классическую цепную дробь — ведь элементы (2k+1)/x-то уже все натуральные:
И вот мы получили цепную дробь если не для e, то для связанного с ним числа, (e-1)/(e+1).
И не совсем мгновенно, но не очень сложно перейти от (e-1)/(e+1) к цепной дроби для собственно e. Которая за счёт этого перехода немного меняется и в дополнение к арифметической прогрессии (со вдвое меньшей разностью) начинает "заикаться единицами":
e= [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8,...]
e= [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8,...]
Да — не могу не вставить сюда формулы из исходного мемуара Ламберта, http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/lambert-et-l-irrationalite-de-p-1761 — разложение для тангенса
и формулу для цепной дроби для числа, связанного с e:
Математические байки
И не совсем мгновенно, но не очень сложно перейти от (e-1)/(e+1) к цепной дроби для собственно e. Которая за счёт этого перехода немного меняется и в дополнение к арифметической прогрессии (со вдвое меньшей разностью) начинает "заикаться единицами": e= [2;…
Собственно, переход, о котором я говорил выше, в основном связан с переходом от цепной дроби для x к цепной дроби для 2x — который прост, но неочевиден. Но к этому мы вернёмся потом...