И вот мы получили цепную дробь если не для e, то для связанного с ним числа, (e-1)/(e+1).

И не совсем мгновенно, но не очень сложно перейти от (e-1)/(e+1) к цепной дроби для собственно e. Которая за счёт этого перехода немного меняется и в дополнение к арифметической прогрессии (со вдвое меньшей разностью) начинает "заикаться единицами":
e= [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8,...]

Да — не могу не вставить сюда формулы из исходного мемуара Ламберта, http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/lambert-et-l-irrationalite-de-p-1761 — разложение для тангенса

и формулу для цепной дроби для числа, связанного с e:

Собственно, переход, о котором я говорил выше, в основном связан с переходом от цепной дроби для x к цепной дроби для 2x — который прост, но неочевиден. Но к этому мы вернёмся потом...

Кстати, если вы читаете по-французски — очень интересно Ламберта читать. Удивительным образом, всё понятно — но постоянно сбивает с толку очень "вытянутое" написание буквы "s", в результате она кажется похожей на "f". Вот, например, в разложениях для синуса и косинуса:

Теперь — собственно, главный шаг за сегодня.
Давайте применим это разложение к исходной цели — к иррациональности π. И для этого вспомним, что
tg π/4 = 1.
Если бы π было рациональным, то рациональным было бы и π/4. Пусть π/4=a/b.

Подставим это в цепную дробь для тангенса — и получим бесконечную цепную дробь для рационального числа 1:

Правда, пока тут есть и минусы, и элементы лишь рациональные. Поборемся со второй проблемой — умножим у каждой дроби числитель и знаменатель на a. И я опять не могу не процитировать Ламберта (правда, с Ф=a и w=b):

В наших обозначениях —

И наверное, вы уже догадались, что мы сейчас сделаем: скажем, что такой дроби для рационального числа 1 не может быть. А именно — оборвём её на каком-нибудь глубоком уровне n. Посмотрим, насколько хорошо получающееся рациональное число приближает результат.

С одной стороны, рациональные числа не могут слишком хорошо приближать друг друга (именно так доказывается, например, что e иррационально). И в частности, если мы приблизили 1=tg a/b рациональным числом P/Q, и при этом не попали точно в единицу, то ошибка не может быть меньше 1/Q.

С другой, обычная цепная дробь приближает результат с ошибкой не больше 1/Q^2. Если бы для нашей дроби — у которой числители уже не 1, a a^2 (или, точнее, -a^2, если принимать во внимание минусы) — что-нибудь подобное продолжало выполняться, то это была бы победа. Так вот, тут всё чуть хуже, но нам всё равно хватит.

А именно: как многие знают, если обозначить через p_n/q_n дробь, получающуюся при обрыве обычной цепной дроби [для какого-то числа x] на уровне n (такие дроби называются подходящими ), то для две соседние подходящие дроби p_n/q_n и p_{n+1}/q_{n+1} приближают x с разных сторон, а разница между ними "наименьшая возможная":
| p_n/q_n - p_{n+1}/q_{n+1} | = 1/(q_n q_{n+1}).

В нашем случае окажется, что в числителе уже не 1 — а произведение числителей (одного a и остальных a^2). И это само по себе заслуживает того, чтобы с этим разобраться, и это потребует экскурсии в цепные дроби.