Если в это поверить — то разница между двумя последовательными приближениями P_n/Q_n и P_{n+1}/Q_{n+1} для tg(a/b) будет
a^{2n+1}/(Q_n Q_{n+1}).

При этом знаменатели Q_n растут очень быстро, факториально (что мы ещё увидим) — из-за того, что растут элементы цепной дроби b, 3b, 5b, 7b,...
Поэтому отношение a^{2n+1}/Q_{n+1} будет стремиться к нулю (экспонента проигрывает факториалу).

И очень естественно, что и разница
|tg (a/b) - P_n/Q_n|
тоже будет убывать с примерно такой же скоростью, как расстояние "до следующего приближения"
|P_n/Q_n - P_{n+1}/Q_{n+1}|;
например, как только следующее расстояние всегда вдвое меньше предыдущего, сумма ряда из расстояний максимум вдвое превышает первое слагаемое, и потому при всех достаточно больших n
|tg (a/b) - P_n/Q_n| < 2(a^{2n+1}/Q_{n+1}) / Q_n.

В частности, как только числитель становится меньше 1 — мы получаем противоречие с tg(a/b)=1.

И точно так же доказывается, что тангенс никакого рационального числа [радиан], кроме 0, не может быть рациональным. Потому что дробь c/d нельзя (без "идеального попадания") приблизить дробью p/q с точностью, лучшей, чем (1/d)/q, то есть константа/знаменатель. А у нас оборванная цепная дробь даёт приближения вида
"сколь угодно малый числитель"/Q_n.
То есть лучше, чем можно.

И на этой цитате из Ламберта — больше, чем 250-летней давности! — я на сегодня завершаю дозволенные речи; а в следующий раз мы посмотрим на красоту цепных дробей (и их де-проективизации).

Продолжим?
Наш следующий шаг — разобраться с цепными дробями. Как для того, чтобы разобраться с разложением тангенса — так и для того, чтобы доказать утверждение выше про разность соседних цепных дробей.
И первое и самое важное понимание тут — это переход от дробно-линейных (проективных) отображений к линейным (что можно жаргонно назвать словом "де-проективизация").

А именно — вместо того, чтобы работать с вещественным числом x — будем работать с вектором v=(a,b), у которого x это отношение координат: x=a/b.
И ясно, что этот вектор можно заменить на любой пропорциональный — отношение координат от этого не изменится.

Так вот — в таком случае, например, разложение в цепную дробь становится применением алгоритма Евклида к паре (x,1). Действительно,
*) вычитание из x его целой части k=[x] соответствует переходу (a,b) -> (a-kb,b),
*) а переход от x к 1/x — переходу (a,b) -> (b,a).

После n шагов разложения в цепную дробь у нас образуется выражение вот такого вида —

И в силу вышесказанного на него можно смотреть как на линейное преобразование — переводящее прямую a=x_{n+1}*b в прямую a=x*b.

При этом дробь p_n/q_n, полученная обрыванием цепной дроби на a_n, соответствует подстановке x_n=0 — или, в линейных терминах, вектор (p_n,q_n) является образом вектора (0,1). А обрыв на a_{n-1} — подстановке значения x_n=бесконечности; в линейных терминах — образу вектора (1,0).

Поэтому линейное преобразование, которое мы только что упомянули, имеет в качестве коэффициентов p_n, q_n, p_{n-1} и q_{n-1}:

А следующая матрица получается из предыдущей умножением справа на то, что отвечает последнему шагу, A_{n+1}=A_n R_{n+1}.:

На языке векторов v_n=(p_n, q_n) это соответствует линейному соотношению —
v_{n+1}=a_{n+1}v_n + v_{n-1}.
Потому что мы смотрим на образ вектора (1, a_{n+1}) под действием всей предыдущей матрицы.

И я помню, как в своё время меня удивили рекуррентные соотношения на подходящие дроби — почему-то одинаковые для числителей и знаменателей: