Так вот — в таком случае, например, разложение в цепную дробь становится применением алгоритма Евклида к паре (x,1). Действительно,
*) вычитание из x его целой части k=[x] соответствует переходу (a,b) -> (a-kb,b),
*) а переход от x к 1/x — переходу (a,b) -> (b,a).

После n шагов разложения в цепную дробь у нас образуется выражение вот такого вида —

И в силу вышесказанного на него можно смотреть как на линейное преобразование — переводящее прямую a=x_{n+1}*b в прямую a=x*b.

При этом дробь p_n/q_n, полученная обрыванием цепной дроби на a_n, соответствует подстановке x_n=0 — или, в линейных терминах, вектор (p_n,q_n) является образом вектора (0,1). А обрыв на a_{n-1} — подстановке значения x_n=бесконечности; в линейных терминах — образу вектора (1,0).

Поэтому линейное преобразование, которое мы только что упомянули, имеет в качестве коэффициентов p_n, q_n, p_{n-1} и q_{n-1}:

А следующая матрица получается из предыдущей умножением справа на то, что отвечает последнему шагу, A_{n+1}=A_n R_{n+1}.:

На языке векторов v_n=(p_n, q_n) это соответствует линейному соотношению —
v_{n+1}=a_{n+1}v_n + v_{n-1}.
Потому что мы смотрим на образ вектора (1, a_{n+1}) под действием всей предыдущей матрицы.

И я помню, как в своё время меня удивили рекуррентные соотношения на подходящие дроби — почему-то одинаковые для числителей и знаменателей:

Так вот — потому что это на самом деле соотношения на вектора v_n, у которых числители p_n и знаменатели q_n это координаты.

Я тут пользуюсь случаем порекламировать замечательную брошюру В.И. Арнольда, "Цепные дроби" (https://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.14-full.pdf ) — с соответствующей картинкой на с. 7:

Так вот — после такой линейной интерпретации, например, становится очень понятно, почему разница соседних подходящих дробей это плюс-минус единица, делённая на произведение знаменателей:

Потому что в числителе разности дробей
a/b-c/d = (ad-bc)/bd
стоит определитель ad-bc — он же ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на вектора (a,b) и (c,d):

Когда мы прибавляем к одному из векторов другой, умноженный на константу, площадь не меняется; когда меняем их местами — меняет знак.

Нет, конечно, из рекуррентных соотношений это тоже немедленно следует, но это объяснение, мне кажется, более правильное.