Так вот — после такой линейной интерпретации, например, становится очень понятно, почему разница соседних подходящих дробей это плюс-минус единица, делённая на произведение знаменателей:
Потому что в числителе разности дробей
a/b-c/d = (ad-bc)/bd
стоит определитель ad-bc — он же ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на вектора (a,b) и (c,d):
a/b-c/d = (ad-bc)/bd
стоит определитель ad-bc — он же ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на вектора (a,b) и (c,d):
Когда мы прибавляем к одному из векторов другой, умноженный на константу, площадь не меняется; когда меняем их местами — меняет знак.
Математические байки
Photo
Нет, конечно, из рекуррентных соотношений это тоже немедленно следует, но это объяснение, мне кажется, более правильное.
Математические байки
Когда мы прибавляем к одному из векторов другой, умноженный на константу, площадь не меняется; когда меняем их местами — меняет знак.
Конечно же, ещё лучше сказать, что числитель
p_{n-1} q_n -p_n q_{n-1}
это определитель нашей матрицы A_n, который тем самым равен произведению определителей R_n — каждый из которых равен (-1).
p_{n-1} q_n -p_n q_{n-1}
это определитель нашей матрицы A_n, который тем самым равен произведению определителей R_n — каждый из которых равен (-1).
Так вот — а давайте теперь посмотрим на наши модифицированные цепные дроби, у которых каждый раз не "+1/что-то там", а "-a^2/что-то там".
Если смотреть с точки зрения "модифицированного алгоритма Евклида", то после j-го вычитания мы не просто меняем местами координаты, а умножаем одну из них на c_j.
Если смотреть с точки зрения произведения матриц — то мы будем перемножать матрицы вида
Первая матрица отвечает операции a_n+(...), а вторая — переходу x->c_{n+1}/x.
И определитель у такой матрицы равен (-c_{n+1}) — соответственно, мы получаем в качестве числителя разности "подходящих дробей" (получающихся обрубанием на a_n)
P_{n-1}/Q_{n-1} - P_n/Q_n
произведение (-c_j).
P_{n-1}/Q_{n-1} - P_n/Q_n
произведение (-c_j).
Математические байки
Photo
Вот отсюда и получается, что в нашем случае, когда все c_j, кроме первого, равны (-a^2), а первый равен (-a), разница "подходящих дробей" P_n/Q_n будет равна
a^{2n+1}/(Q_n Q_{n+1}).
a^{2n+1}/(Q_n Q_{n+1}).
Ну а из-за рекуррентных формул знаменатели Q_n растут не медленнее, чем произведения элементов цепной дроби — откуда и следует, что в случае нашей дроби для тангенса (когда это возрастающие нечётные числа*b) отношение a^{2n+1}/Q_{n+1} стремится к 0 (ибо экспонента проигрывает факториалу).
Вот мы и разобрались с первой частью "долга" — про то, как ведут себя цепные дроби с не-единичными числителями.
Кстати — вообще-то это заслуживает отдельного рассказа, но я упомяну одну страницу из появившихся записок Е. Смирнова о фризах: