Так вот — а давайте теперь посмотрим на наши модифицированные цепные дроби, у которых каждый раз не "+1/что-то там", а "-a^2/что-то там".

И вообще на дроби вида —

Если смотреть с точки зрения "модифицированного алгоритма Евклида", то после j-го вычитания мы не просто меняем местами координаты, а умножаем одну из них на c_j.

Если смотреть с точки зрения произведения матриц — то мы будем перемножать матрицы вида

Первая матрица отвечает операции a_n+(...), а вторая — переходу x->c_{n+1}/x.

И определитель у такой матрицы равен (-c_{n+1}) — соответственно, мы получаем в качестве числителя разности "подходящих дробей" (получающихся обрубанием на a_n)
P_{n-1}/Q_{n-1} - P_n/Q_n
произведение (-c_j).

Вот отсюда и получается, что в нашем случае, когда все c_j, кроме первого, равны (-a^2), а первый равен (-a), разница "подходящих дробей" P_n/Q_n будет равна
a^{2n+1}/(Q_n Q_{n+1}).

Ну а из-за рекуррентных формул знаменатели Q_n растут не медленнее, чем произведения элементов цепной дроби — откуда и следует, что в случае нашей дроби для тангенса (когда это возрастающие нечётные числа*b) отношение a^{2n+1}/Q_{n+1} стремится к 0 (ибо экспонента проигрывает факториалу).

Вот мы и разобрались с первой частью "долга" — про то, как ведут себя цепные дроби с не-единичными числителями.

Кстати — вообще-то это заслуживает отдельного рассказа, но я упомяну одну страницу из появившихся записок Е. Смирнова о фризах:

А к комментарию коллег добавлю, что удивительно, что цепные дроби (а также триангуляции) возникают в задаче, исходно с ними никак не связанной.

https://users.mccme.ru/smirnoff/papers/friezes0317.pdf

записки миникурса Е.Смирнова про фризы и цепные дроби на ЛШСМ-2019 (особых предварительных знаний не требуется, можно читать старшеклассникам)

А именно — мы пытаемся расставлять числа в (повёрнутой на 45 градусов) квадратной решётке так, чтобы в любом квадрате разница произведений лево*право и верх*низ равнялась бы 1, начиная с двух горизонталей сначала из 0, потом из 1:

0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
3 5 5 4 3

Следующий ряд ещё понятно, как заполнить: произведение соседей минус 1:

0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
3 5 5 4 3
14 24 19 11

Но "почему-то" результат и дальше остаётся целым: скажем, в квадрате с верхней вершиной 5 и боковыми 14 и 24 в нижнее число мы должны вписать (14*24-1)/5 — и оно делится нацело!

И чем глубже мы спускаемся, тем больше становятся числа, и тем удивительнее делимость...