Продолжим?

Так вот — именно для такой работы у Ламберта появлялись разложения синуса и косинуса. Потому что зачем работать с рядом Тейлора для тангенса, который ещё и регулярно придётся "переворачивать" (в смысле, переходить от f к 1/f), если можно работать с синусом и косинусом, которые сами по себе замечательные, и вычитать с нужным множителем.

В нашем случае мы (идя параллельно Ламберту, но чуть-чуть отклонившись) работаем с функциями
f_0(x)=cos x и f_1(x)=sin(x)/x —
в таком виде итоговое рассуждение окажется более коротким.

Раскладываем f_0 —

Раскладываем f_1 —

Вычитаем f_1 из f_0 (ибо алгоритм Евклида):

Свободный член сократился — а у нас цепная дробь с (-x^2) в числителе, так что f_2 это (-1/x^2)*(f_1-f_0):

Обратите внимание — числители вполне нестрашные.

Продолжаем алгоритм Евклида с делением — у f_2 свободный член (1/3), так что из f_1 её нужно вычесть с коэффициентом 3. Получаем:

Опять-таки, делим на (-x^2), получаем f_3:

И обратите внимание, числители продолжают быть вполне хорошо записывающимися!

А вот соответствующее место у Ламберта —

(Он не делит на степени переменной — у него это v — и чуть по-другому работает со знаками)

Значение в нуле у f_3 равно
(2*4)/5! = 1/(3*5),
значит, на следующем шаге мы рассмотрим разность
f_2 - 5 f_3,
и опять поделим её на (-x^2), чтобы получить f_4, и так далее.