Обратите внимание — числители вполне нестрашные.

Продолжаем алгоритм Евклида с делением — у f_2 свободный член (1/3), так что из f_1 её нужно вычесть с коэффициентом 3. Получаем:

Опять-таки, делим на (-x^2), получаем f_3:

И обратите внимание, числители продолжают быть вполне хорошо записывающимися!

А вот соответствующее место у Ламберта —

(Он не делит на степени переменной — у него это v — и чуть по-другому работает со знаками)

Значение в нуле у f_3 равно
(2*4)/5! = 1/(3*5),
значит, на следующем шаге мы рассмотрим разность
f_2 - 5 f_3,
и опять поделим её на (-x^2), чтобы получить f_4, и так далее.

Давайте я напишу ещё f_4 — а потом посмотрим на них повнимательнее:

Попробуем придумать, а как бы такие произведения чётных чисел в числителях могли получаться. Вообще, умножение на степень переменной отвечает дифференцированию. Но несколько применений такой операции оставили бы произведение чисел — а у нас произведение только чётных. Значит, нужно нечётные степени "пропускать", уменьшая степень переменной после дифференцирования ещё на 1.

Так рассмотрим оператор D= -(1/x) d/dx:

Тогда f_1 это в точности D(f_0). А f_2 это D(f_1). И вообще
f_k= D^k f_0 (!)

Ответ уже красивый — но осталось понять, как это доказать.

Заметим, что f_1 = sin(x)/x = D[cos x] = Df_0 просто по определению. И если посмотреть на D^2 f_0, то мы так же по определению получаем

Так что на начальном этапе всё сходится.