Опять-таки, делим на (-x^2), получаем f_3:

И обратите внимание, числители продолжают быть вполне хорошо записывающимися!

А вот соответствующее место у Ламберта —

(Он не делит на степени переменной — у него это v — и чуть по-другому работает со знаками)

Значение в нуле у f_3 равно
(2*4)/5! = 1/(3*5),
значит, на следующем шаге мы рассмотрим разность
f_2 - 5 f_3,
и опять поделим её на (-x^2), чтобы получить f_4, и так далее.

Давайте я напишу ещё f_4 — а потом посмотрим на них повнимательнее:

Попробуем придумать, а как бы такие произведения чётных чисел в числителях могли получаться. Вообще, умножение на степень переменной отвечает дифференцированию. Но несколько применений такой операции оставили бы произведение чисел — а у нас произведение только чётных. Значит, нужно нечётные степени "пропускать", уменьшая степень переменной после дифференцирования ещё на 1.

Так рассмотрим оператор D= -(1/x) d/dx:

Тогда f_1 это в точности D(f_0). А f_2 это D(f_1). И вообще
f_k= D^k f_0 (!)

Ответ уже красивый — но осталось понять, как это доказать.

Заметим, что f_1 = sin(x)/x = D[cos x] = Df_0 просто по определению. И если посмотреть на D^2 f_0, то мы так же по определению получаем

Так что на начальном этапе всё сходится.

Но на это можно посмотреть как на дифференциальное уравнение на f_0=cos x — необычное, потому что в терминах D, а не обычной производной:

Применим теперь к нему D. В правой части, конечно, останется ноль; в левой D[f_0] это f_1, D[-Df_0]=-D[f_1], а вот при применении к произведению x^2 D^2[f_0] срабатывает правило Лейбница: производная может упасть на первый сомножитель, а может на второй. Слагаемое от второго это просто x^2 D^3[f_0]=x^2 D^2[f_1], а вот при применении D к первому сомножителю получится -2 D^2[f_0]=-2 D[f_1], в дополнение к уже имеющемуся -D[f_1]. Итого —