А какая у логарифма первообразная? Поскольку логарифм меняется чем дальше, тем медленнее, естественно взять x*(ln x) в качестве первого приближения; но
[x*(ln x)]'= ln x + x*[(ln x)'] = ln x +1,
так что нужно первообразную лишней единицы вычесть — получается (x*ln x -x)

(Конечно, это называется "взять интеграл по частям", но тут эта выкладка ещё и естественно мотивируется.)

А (n*ln n -n) — это и есть логарифм от "экспоненциальной части" (n/e)^n.
То есть первую часть формулы Стирлинга мы уже поймали!

На самом деле — удобнее откладывать прямоугольники в другую сторону, чтобы интеграл был действительно до x=n, то есть чтобы ln k был площадью прямоугольника высоты ln k на основании [k-1,k], тогда картинка получится чуть-чуть другая:

Закрашенная область — то, что мы хотим получить. А площадь под (красным) графиком логарифма — то, что уже посчитали.

А насколько мы промахнулись?

Понятно, насколько — на сумму площадей криволинейных треугольников:

А чему она примерно равна?

Естественно, сумме площадей таких же, но прямолинейных треугольников.

У всех этих прямолинейных треугольников горизонтальные катеты равны 1. Поэтому сумма их площадей это половина суммы вертикальных катетов.

А поскольку каждый катет это приращение логарифма — то сумма вертикальных катетов получается телескопическая, и даёт просто ln n.

Ну и (ln n)/2 — это не что иное, как логарифм корня из n. Того самого корня из n, который стоит в формуле Стирлинга.

(Да, на всякий случай — то, что мы сейчас проделали, для численных приближений интеграла называлось бы переходом от формулы прямоугольников к формуле трапеций.)

Так вот — мы сейчас вытащили почти всю формулу Стирлинга, кроме константы \sqrt{2\pi}.

На самом деле — мы уже можем доказать, что эта константа _есть_.

Для этого заметим, что ошибка, которую мы оставили после учёта прямолинейных треугольников, складывается из площадей сегментов — между хордой и графиком логарифма.

Если площадь криволинейного треугольника убывала как (1/n) — ибо за него отвечает первая производная логарифма — то площадь сегмента уже будет убывать как (1/n^2), ибо ему соответствует вторая производная, а (ln x)'' = -1/x^2.

А ряд из обратных квадратов уже сходится. И значит, последовательность "ошибок"
(ln n!) - ( n ln n - n + ln \sqrt{n})
будет фундаментальной — её приращения и есть площади сегментов.