Закрашенная область — то, что мы хотим получить. А площадь под (красным) графиком логарифма — то, что уже посчитали.
Понятно, насколько — на сумму площадей криволинейных треугольников:
Естественно, сумме площадей таких же, но прямолинейных треугольников.
У всех этих прямолинейных треугольников горизонтальные катеты равны 1. Поэтому сумма их площадей это половина суммы вертикальных катетов.
А поскольку каждый катет это приращение логарифма — то сумма вертикальных катетов получается телескопическая, и даёт просто ln n.
Ну и (ln n)/2 — это не что иное, как логарифм корня из n. Того самого корня из n, который стоит в формуле Стирлинга.
(Да, на всякий случай — то, что мы сейчас проделали, для численных приближений интеграла называлось бы переходом от формулы прямоугольников к формуле трапеций.)
Так вот — мы сейчас вытащили почти всю формулу Стирлинга, кроме константы \sqrt{2\pi}.
На самом деле — мы уже можем доказать, что эта константа _есть_.
Для этого заметим, что ошибка, которую мы оставили после учёта прямолинейных треугольников, складывается из площадей сегментов — между хордой и графиком логарифма.
Если площадь криволинейного треугольника убывала как (1/n) — ибо за него отвечает первая производная логарифма — то площадь сегмента уже будет убывать как (1/n^2), ибо ему соответствует вторая производная, а (ln x)'' = -1/x^2.
А ряд из обратных квадратов уже сходится. И значит, последовательность "ошибок"
(ln n!) - ( n ln n - n + ln \sqrt{n})
будет фундаментальной — её приращения и есть площади сегментов.
(ln n!) - ( n ln n - n + ln \sqrt{n})
будет фундаментальной — её приращения и есть площади сегментов.
А раз так, то она сходится — и её предел это и есть логарифм той константы, на которую нам остаётся домножить.
То есть для какого-то A будет выполнено
ln n! ~ A sqrt{n} (n/e)^n,
только мы пока что не знаем, что A= \sqrt{2\pi}.
ln n! ~ A sqrt{n} (n/e)^n,
только мы пока что не знаем, что A= \sqrt{2\pi}.
На самом деле, техника, которую мы сейчас применили, это частный случай формулы суммирования Эйлера-Маклорена. А именно — если у нас есть какая-то "хорошая" функция f, и мы хотим понять, как себя будет вести сумма
f(1)+f(2)+...+f(n)
с ростом n.
f(1)+f(2)+...+f(n)
с ростом n.
Если провести всё те же рассуждения (и зайти чуть дальше) — то в качестве первого приближения возникнет первообразная F(n), потом к ней добавится (1/2)*f(n), потом с каким-то коэффициентом добавится производная f', и так далее.
Причём коэффициенты не зависят от того, у какой именно функции f мы складываем значения, мы всегда получим выражение вида
F(n)+ (1/2) f(n) + (1/12) f'(n) + ... .
F(n)+ (1/2) f(n) + (1/12) f'(n) + ... .