Ну и — даже если за формулами в канале следить не очень просто, мне хочется сказать, что всё последнее рассуждение это не "магия".
Как только мы поставили себе цель "разложить тангенс в цепную дробь" — ну, и угадали, что лучше работать не алгоритмом Евклида для tg x и 1, а для sin x и cos x, дальше мы не могли не преуспеть. Мы обязаны были (если не делать арифметических ошибок) получить те ряды, которые получили — и даже если не угадать, что они получаются с помощью дифференциального оператора -(1/x) d/dx, можно было просто по индукции доказать, что они всегда и впрямь такие.

Ну и, кажется, на этом рассказ об иррациональности пи можно закончить — доказательство и впрямь завершено.

Ещё пара слов в дополнение ко вчерашнему. Во-первых — цитата из книги Фердинанда Рудио.
"О квадратурѣ круга", вышедшей в 1911 году в Одессе:

А вся книга выложена тут — https://www.mathesis.ru/book/rudio/

Во-вторых, по соседству с цепными дробями есть история про последовательности (или ряды) Фарея.

Давайте возьмём все несократимые дроби p/q на отрезке [0,1], у которых знаменатель q не превосходит некоторого фиксированного числа N. И упорядочим их по возрастанию.

Определение. То, что получилось, называется последовательностью Фарея порядка N.

А как понять, куда какие дроби будут попадать при увеличении N?

При переходе от N=3 к N=4 всё просто —

К N=5 — уже чуть менее, но всё ещё легко:

А вот расставить все дроби со знаменателем 7 может оказаться не очень тривиально:

Вопрос: а как понять (не выполняя кучи сравнений), что куда ставить?

Второй вопрос — а как устроены расстояния между соседними дробями в последовательности Фарея?

Скажем, в примере выше:
5/7 приходит между 2/3 и 3/4,
4/7 — между 1/2 и 3/5.

И уже несложно угадать, что 5/7 это (2+3)/(3+4), а 4/7 это (1+3)/(2+5).

То есть — новая дробь это всегда "сумма двоечника своих соседей", числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Такую "сумму" называют медиантой; то, что она заключена между этими дробями, можно увидеть по-всякому, но лучше всего опять переходом от "проективной" картины к линейной. А именно — сопоставим каждой дроби p/q точку (p,q) плоскости; тогда взятие медианты это просто сложение векторов: