А как понять, куда какие дроби будут попадать при увеличении N?

При переходе от N=3 к N=4 всё просто —

К N=5 — уже чуть менее, но всё ещё легко:

А вот расставить все дроби со знаменателем 7 может оказаться не очень тривиально:

Вопрос: а как понять (не выполняя кучи сравнений), что куда ставить?

Второй вопрос — а как устроены расстояния между соседними дробями в последовательности Фарея?

Скажем, в примере выше:
5/7 приходит между 2/3 и 3/4,
4/7 — между 1/2 и 3/5.

И уже несложно угадать, что 5/7 это (2+3)/(3+4), а 4/7 это (1+3)/(2+5).

То есть — новая дробь это всегда "сумма двоечника своих соседей", числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Такую "сумму" называют медиантой; то, что она заключена между этими дробями, можно увидеть по-всякому, но лучше всего опять переходом от "проективной" картины к линейной. А именно — сопоставим каждой дроби p/q точку (p,q) плоскости; тогда взятие медианты это просто сложение векторов:

А разность двух соседних дробей a/b и c/b в любой последовательности Фарея — это 1/(bd). Что, опять-таки, можно угадать, посмотрев на несколько примеров; скажем,
3/5-4/7=(21-20)/35,
2/3-3/5=(10-9)/15;
после пары-тройки таких вычитаний становится понятно, что в числителе должны всегда быть единицы...

И, конечно, это означает, что площадь соответствующих параллелограмов равна 1. И если поверить в предыдущий факт — что новоприходящая дробь это всегда медианта соседей — то это мгновенно доказывается по индукции. Ведь каждый из двух новопоявляющихся параллелограммов имеет такую же площадь:

Собственно, вывод в другую сторону (что до медианты, с меньшим, чем b+d, знаменаетелем, ничего не появится) тоже мгновенный. Потому что если между a/b и c/d появляется e/f, то разности:
e/f-a/b не меньше 1/bf
c/d-e/f не меньше 1/df,
а в сумме не меньше
1/bf + 1/df = (b+d)/bdf.

Поскольку мы делили отрезок длины 1/bd — то f не меньше, чем b+d.

На самом деле, сумма двух выводов выше доказывает по индукции и то, и другое, но в этом проще убедиться самостоятельно.
С другой стороны — то, что в числителе разности всегда 1, можно увидеть из формулы Пика.

Ибо у треугольника с вершинами O=(0,0), A=(a,b), B=(c,d) других целых точек нет ни внутри (иначе бы a/b и c/d не были соседними в последовательности Фарея), ни на границе (по той же причине для стороны AB и потому что дроби несократимы для сторон OA и OB). А по формуле Пика его площадь — которая есть половина площади соответствующего параллелограмма — тогда равна
3/2 - 1 = 1/2.