Да, совсем в заключение — ещё пара картинок из (мне кажется, очень стоящей того) книги Аллена Хатчера "Topology of Numbers", https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/TN/TNbook.pdf .
Если распространить построение дробей медиантами на всю [проективную] прямую — начиная с нуля 0/1 и с бесконечности 1/0, сделать стереографическую проекцию и соединить дугами дроби, которые хоть в какой-то момент окажутся соседними —

— то получается вот такая красивая картина:

Ну и совсем в заключение — оказывается, в терминах распределения последовательностей Фарея можно эквивалентно переформулировать гипотезу Римана. Но это уже точно тема для другого рассказа...

Последнее — вчера объявили лауреатов премии Абеля этого года: ими стали Г. Фюрстенберг и Г. А. Маргулис.

https://www.abelprize.no/nyheter/vis.html?tid=76103

Сегодня объявлены лауреаты премии Абеля 2020 года: Гилель Фюрстенберг (Hebrew University of Jerusalem, Israel) и Григорий Александрович Маргулис (Yale University, New Haven, CT, USA)

“for pioneering the use of methods from probability and dynamics in group theory, number theory and combinatorics”

Про работы Маргулиса, боюсь, я сходу не готов рассказывать, но вот про (по крайней мере, какие-то) работы Фюрстенберга — это просто план на следующий рассказ :)

Итак, обещанное про работы Фюрстенберга. Их много и разных; начать я хочу, пожалуй, не с основного его направления — зато с очень красивой работы про доказательство теоремы Семереди методами эргодической теории.

Для начала — что такое теорема Семереди?
Есть классическая теорема Ван дер Вардена. Которая утверждает, что если натуральные числа раскрашены в конечное число цветов, то найдутся сколь угодно длинные арифметические прогрессии одного цвета.

Кстати — то же правда и в больших размерностях: если точки решётки L — например, множества Z^2 челочисленных точек плоскости — раскрашены в конечное число цветов, и есть конечное подмножество F в L ("шаблон"), то найдётся гомотетичное F одноцветное подмножество L. Об этом можно почитать в дубнинской брошюре В.О. Бугаенко, "Обобщённая теорема Ван дер Вардена" (см. https://www.mccme.ru/free-books/dubna/bugaenko.pdf ) — но это не основная тема моего рассказа, так что я вернусь на прямую.

Так вот: мы знаем, что при раскраске N в конечное число цветов найдутся сколь угодно длинные одноцветные арифметические прогрессии. Но раз число цветов конечно, значит, есть один конкретный цвет, в котором есть сколь угодно длинные прогрессии. А нельзя ли как-нибудь его "указать"?

Оказывается, можно, и (на уровне формулировки!) очень просто. А именно — давайте определим верхнюю плотность подмножества A в N как верхний предел при n, стремящемся к бесконечности, того, какую долю составляют элементы A среди {1,...,n}.

Легко увидеть, что если натуральные числа разбиты на конечное число подмножеств, то сумма их верхних плотностей не меньше 1 — в частности, у хотя бы одного из них верхняя плотность больше нуля.

Так вот, гипотеза Эрдеша и Турана 1936 года утверждала, что во всяком подмножестве N положительной верхней плотности есть сколь угодно длинные арифметические прогрессии. (Да, забыл сказать: теорема Ван дер Вардена это 1927 год).

В 1953 году Roth доказал, что в множестве положительной верхней плотности найдутся прогрессии длины 3; в 1969-м — Семереди доказал это для прогрессий длины 4. И только в 1975-м тот же Семереди доказал эту гипотезу для прогрессий произвольной длины — с тех пор это утверждение называется теоремой Семереди.

Так вот — всего лишь двумя годами позднее, в 1977 году, появилось доказательство Фюрстенберга теоремы Семереди методами эргодической теории. Но — опять-таки, прежде, чем я перейду к собственно этому доказательству, мне ещё хочется сказать пару слов про "соседние" утверждения.

Есть более сильная гипотеза Эрдеша: пусть подмножество A таково, что ряд из обратных к его элементам расходится. Тогда в A есть сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

Продолжим?
Сразу видно, что эта гипотеза Эрдеша это более сильное утверждение: несложно проверить, что если верхняя плотность A положительна, то сумма ряда (1/n) по n из A расходится.

И — известно, что ряд из обратных простых 1/p тоже расходится. Это можно увидеть разными способами, правильнее всего, наверно, это увидеть через тождество Эйлера для дзета-функции: