А именно: пусть p=4k+1. Если уж p получится представить в виде суммы квадратов, то один из них будет чётным (а другой нечётным, но это неважно). Поэтому давайте сразу искать представление в виде p=x^2+4y^2.

Для этого рассмотрим все возможные представления p в виде p=x^2+4yz, где x,y,z натуральные. И рассмотрим на этом множестве инволюцию — поменяем местами y и z. Так вот, нас интересует неподвижная точка этой инволюции — та, где y=z. (Точка или точки, конечно, но на самом деле она одна).

Как можно гарантировать, что неподвижная точка у инволюции есть? Да очень просто — если общее число точек нечётно, то на пары они в любом случае не разобьются, и неподвижная точка будет.

А как можно доказывать, что количество точек нечётно? Тоже очень просто — давайте на этом множестве запустим какую-нибудь другую инволюцию, и если у неё будет ровно одна неподвижная точка, а все остальные точки разобьются на пары, то вот их общее число и будет нечётно.

А теперь, собственно, изюминка этого рассуждения: вторую инволюцию можно задать формулами — но гораздо лучше задать геометрически. А именно — представлению p=x^2+4yz можно сопоставить этакую "мельницу":

(Я взял этот рисунок из записок самого Спивака — http://mmmf.msu.ru/lect/spivak/zagir_!.pdf — см. лекцию 15 тут: http://mmmf.msu.ru/lect/lect8.html )

Так вот, на таких "мельницах" есть инволюция, которую проще показать, чем задавать формулами:

(Рисунок оттуда же)

И почти все "мельницы" разбиваются на пары одинаковой формы:

(И опять картинка из того же текста А. В. Спивака)

Почти все — кроме одной ситуации.
Если x=y, то у нас нет вариантов, каким выбирать внутренний квадрат, "толстым" или "худым":

Но тогда x^2+4xz=x(x+4z)=p, и в силу простоты p это означает, что x=1.

Так что такая неподвижная точка у этой инволюции ровно одна.

(А что она есть — это как раз то, что p=4k+1)

И вот мы и получили, что число представлений нечётно. Победа: значит, неподвижная точка будет и у меняющей y и z инволюции.

Фёдор Петров, собственно, рассказывал о рождественской теореме Ферма позавчера — см. https://www.youtube.com/watch?v=wfTCPPHViWw&feature=youtu.be&t=2193 ; ещё хорошая ссылка это обсуждение на MathOverflow (начинающееся, собственно, с вопроса про то, как понять предложенную Загиром инволюцию) — https://mathoverflow.net/a/299696 ; и по ссылке оттуда — более развёрнутый текст А. В. Спивака, "Крылатые квадраты": http://mmmf.msu.ru/lect/spivak/summa_sq.pdf

Ну и — вот то самое "доказательство в один абзац" Д.Загира: