Так вот, на таких "мельницах" есть инволюция, которую проще показать, чем задавать формулами:
И почти все "мельницы" разбиваются на пары одинаковой формы:
(И опять картинка из того же текста А. В. Спивака)
Почти все — кроме одной ситуации.
Если x=y, то у нас нет вариантов, каким выбирать внутренний квадрат, "толстым" или "худым":
Если x=y, то у нас нет вариантов, каким выбирать внутренний квадрат, "толстым" или "худым":
Но тогда x^2+4xz=x(x+4z)=p, и в силу простоты p это означает, что x=1.
Так что такая неподвижная точка у этой инволюции ровно одна.
И вот мы и получили, что число представлений нечётно. Победа: значит, неподвижная точка будет и у меняющей y и z инволюции.
Фёдор Петров, собственно, рассказывал о рождественской теореме Ферма позавчера — см. https://www.youtube.com/watch?v=wfTCPPHViWw&feature=youtu.be&t=2193 ; ещё хорошая ссылка это обсуждение на MathOverflow (начинающееся, собственно, с вопроса про то, как понять предложенную Загиром инволюцию) — https://mathoverflow.net/a/299696 ; и по ссылке оттуда — более развёрнутый текст А. В. Спивака, "Крылатые квадраты": http://mmmf.msu.ru/lect/spivak/summa_sq.pdf
YouTube
Рождественская теорема Ферма | Вебинар по математике с Федором Петровым
Вебинар для школьников 8−11 классов.
Чему может быть равно расстояние между двумя узлами тетрадного листа, разбитого на единичные клеточки? Легко найти два узла на расстоянии одной клетки, корень из двух или корень из пяти. А например, на расстоянии корень…
Чему может быть равно расстояние между двумя узлами тетрадного листа, разбитого на единичные клеточки? Легко найти два узла на расстоянии одной клетки, корень из двух или корень из пяти. А например, на расстоянии корень…
Ну и — вот то самое "доказательство в один абзац" Д.Загира:
Математические байки
Photo
И правда ведь красиво, когда такой абзац формул (очень изящный, но для меня не очень говорящий — ибо непонятно, как до такого можно додуматься) получается превратить в картинку!
Возвращаясь к Конвею — давайте я расскажу о его статье под очень точным названием "A Headache Causing Problem".
Итак, задача:
На шляпах (или на лбу) у нескольких людей (Артур, Бертран,...) написаны натуральные числа — так, что каждый видит все числа, кроме своего собственного. А на доске написаны варианты их суммы, среди которых один правильный.
Например, пусть у участников на шляпах написаны просто три двойки — 2, 2, 2, — а на доске написаны 6, 7 и 8.
На шляпах (или на лбу) у нескольких людей (Артур, Бертран,...) написаны натуральные числа — так, что каждый видит все числа, кроме своего собственного. А на доске написаны варианты их суммы, среди которых один правильный.
Например, пусть у участников на шляпах написаны просто три двойки — 2, 2, 2, — а на доске написаны 6, 7 и 8.
Их много раз по кругу опрашивают: "знаете ли вы своё число", и ответы ("да" или "нет") слышны всем.
Нужно доказать, что если вариантов на доске не больше, чем людей (скажем, как в примере выше), то рано или поздно кто-нибудь ответит "да".
Нужно доказать, что если вариантов на доске не больше, чем людей (скажем, как в примере выше), то рано или поздно кто-нибудь ответит "да".