Так что такая неподвижная точка у этой инволюции ровно одна.

(А что она есть — это как раз то, что p=4k+1)

И вот мы и получили, что число представлений нечётно. Победа: значит, неподвижная точка будет и у меняющей y и z инволюции.

Фёдор Петров, собственно, рассказывал о рождественской теореме Ферма позавчера — см. https://www.youtube.com/watch?v=wfTCPPHViWw&feature=youtu.be&t=2193 ; ещё хорошая ссылка это обсуждение на MathOverflow (начинающееся, собственно, с вопроса про то, как понять предложенную Загиром инволюцию) — https://mathoverflow.net/a/299696 ; и по ссылке оттуда — более развёрнутый текст А. В. Спивака, "Крылатые квадраты": http://mmmf.msu.ru/lect/spivak/summa_sq.pdf

Ну и — вот то самое "доказательство в один абзац" Д.Загира:

И правда ведь красиво, когда такой абзац формул (очень изящный, но для меня не очень говорящий — ибо непонятно, как до такого можно додуматься) получается превратить в картинку!

Возвращаясь к Конвею — давайте я расскажу о его статье под очень точным названием "A Headache Causing Problem".

Итак, задача:
На шляпах (или на лбу) у нескольких людей (Артур, Бертран,...) написаны натуральные числа — так, что каждый видит все числа, кроме своего собственного. А на доске написаны варианты их суммы, среди которых один правильный.
Например, пусть у участников на шляпах написаны просто три двойки — 2, 2, 2, — а на доске написаны 6, 7 и 8.

Картинка из статьи —

Их много раз по кругу опрашивают: "знаете ли вы своё число", и ответы ("да" или "нет") слышны всем.
Нужно доказать, что если вариантов на доске не больше, чем людей (скажем, как в примере выше), то рано или поздно кто-нибудь ответит "да".

(И немедленно вспоминаются, конечно, классические задачи про проводника и пассажиров с закопчёнными после туннеля лицами, или про чужеземца и голубоглазых островитян.)

А рассуждение тут очень изящное. Авторы вводят слепого арбитра, Zoe, которой известны числа на доске и которая слышит все ответы участников — но которой неизвестно ни одно из чисел на шляпах. И она ведёт таблицу возможных вариантов наборов — вычеркивая те, которые становятся невозможными после услышанных ответов.

Так вот, её таблица на самом деле хранит в себе всю информацию, собранную в результате предыдущих ответов — так что очередной отвечающий (допустим, Бертран) может просто посмотреть на неё, найти в ней наборы, совпадающие с видимыми числами им остальных участников, и понять, однозначно ли это определяет его число. Если такой набор один, он говорит "да", иначе "нет".

Соответственно, Zoe при очередном ответе "нет" одного из участников вычёркивает из таблицы те наборы, для которых в таблице нет других наборов, отличающихся от данного только на число этого участника:

И вот как выглядит таблица для набора сумм (6,7,8) —

(Картинка из той же статьи, и про саму статью я ещё скажу — ибо с ней тоже всё интересно.)

На этом рисунке подписаны, правда, только тройки на границе — но понятно, как оно продолжается внутрь. А числа, которыми подписаны вершины этой таблицы, это номер вопроса, на котором этот набор будет вычеркнут. Скажем, все варианты вида (0,b,8-b), идущие вдоль правой стороны этого "треугольника", будут вычеркнуты первым же вопросом к A. Вариант (7,0,1) не будет вычеркнут вопросом к A — но будет вычеркнут следующим за этим вопросом к B. А вариант (7,0,0) будет вычеркнут на третьем вопросе — ибо единственная альтернатива с точки зрения C, (7,0,1), только что исключена.