Определение заполненного множества Жюлиа похоже на другие определения фракталов: что-то куда-то итерируется. И из-за итераций естественно ожидать какого-то самоподобия.
А вот определение множества Мандельброта кажется странным: почему речь идёт об итерациях именно точки z=0? И из него совсем не видно, почему должен получаться фрактал.

Так вот, давайте на всё это посмотрим и с этим разберёмся. Начнём со случая c=0. Тогда мы итерируем
P_0(z)=z^2,
и его итерации достаточно просто описать. А именно, n-я итерация это z^{2^n}, поэтому:
*) точки z с |z|>1 убегают на бесконечность,
*) точки с |z|<1 падают в ноль,
*) а |z|=1 — окружность, остающаяся на месте, и на которой аргумент (из-за возведения в квадрат) за одну итерацию P_0 удваивается.

В частности, заполненное множество Жюлиа — диск |z|<=1:

Слева на этой картинке (с Элементов) множество Мандельброта, с отмеченной (белой) точкой c=0, а справа — соответствующее множество Жюлиа.

А что будет, если мы возьмём параметр c явно за пределами множества Мандельброта — например, c=5?

Для начала заметим, что если уж какая-то точка z принадлежит заполненному множеству Жюлиа J_c, то она не может быть слишком большой по модулю — иначе модули образов будут только нарастать. Ведь
|P(z)| >= |z|^2 - |c|;
скажем, для |c|<=5 уже при |z|>4 будет |P(z)|>11, потом |P(P(z))|>100, и так далее.
Так что точка из множества Жюлиа J_5 обязательно должна лежать в диске |z|<=4.

Но то же самое можно сказать и про её образ P(z)=z^2+c, поэтому z^2 обязательно содержится в диске с центром в (-5) и радиусом 4. А тогда z содержится в одном из двух прообразов этого диска под действием квадратного корня.

А условие |P(P(z))|<=4 выделит в каждом из этих прообразов ещё два прообраза. И вот у нас получаются вложенные объединения топологических дисков, в каждом диске n-го уровня — два диска n+1-го. Так что точки, которые им всем принадлежат — а это и есть множество Жюлиа для такого c — будут канторовым множеством:

Вот тут точка c это примерно 2.7 — а самого множества Жюлиа справа даже не видно, оно "распалось в канторову пыль". Видны только вложенные области — вне первой из них |P(z)| слишком большой, вне следующей (более светлой) |P(P(z))|, и так далее.

А вот тут я взял параметр c большим отрицательным:

И это уже совсем привычный вид канторова множества.

Так вот, ответ на вопрос про то, а зачем вообще рассматривают множество Мандельброта, и почему там именно итерации z=0, такой:
Теорема. Заполненное множество Жюлиа полинома P_c связно тогда и только тогда, когда критическая точка z=0 этому множеству принадлежит (не убегает на бесконечность). В противном случае оно гомеоморфно канторову множеству.

То есть точка z=0 важна тем, что именно в ней производная P_c обращается в ноль; и если её образы убегают на бесконечность — мы получаем примерно такую же картину, как и просто для z^2+с, где c большое. Ну и вот пара примеров —

Сегодня, через четыре с половиной часа :)

https://youtu.be/myq1cr-cKZE

в среду в 18 будет популярная лекция С.К.Смирнова с участием И.В.Ященко и В.А.Клепцына «Зачем нужна математика?» для школьников 7-11 кл., учителей, родителей, всех желающих.

Уф. Мы это сделали!

Давайте я сюда скопирую скриноштами часть рассказа — мне кажется, получилось действительно интересно.

Начали с исторического экскурса — и первым вспомнили Московский математический папирус (он же папирус Голенищева) — https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%80%D1%83%D1%81