И в завершение — вот звёздчатая гипоциклоида с двойным параллелограммом (и двумя рисующими точками на одной из окружностей):

Красивое перекладывание:
https://twitter.com/74WTungsteno/status/1265613949485096961/photo/1

Давайте я попробую немного рассказать о комплексной динамике — о том, что и почему мы на этих анимациях видим.
Да — я буду пользоваться двумя генераторами фракталов. Во-первых, у Элементов.ру есть совершенно классная серия интерактивных плакатов, https://elementy.ru/posters/ , — и один из них посвящён как раз фракталам; и там можно одновременно смотреть на точку множества Мандельброта и на соответствующее ей множество Жюлиа — https://elementy.ru/posters/fractals/Julia .
Увы, эти плакаты на флеше, который не все современные браузеры любят. :(
А во-вторых, вот этим генератором — http://usefuljs.net/fractals/ .

Итак, главные герои. Формальные определения такие: пусть задано отображение z->P(z), например, вида z^2+c.
Тогда для любой начальной точки z_0 можно рассмотреть последовательность её итераций — применяя P снова и снова: z_n = P(z_{n-1}).
Так вот, заполненным множеством Жюлиа полинома P называется множество точек z_0, итерации которых не убегают на бесконечность.
(Определение выше общее — но сейчас я его собираюсь применять только к квадратичным отображениям, z->z^2+c.)

А множеством Мандельброта называется множество таких параметров c, что у отображения
P_c (z) = z^2+c
не убегают на бесконечность итерации начальной точки 0.

Определение заполненного множества Жюлиа похоже на другие определения фракталов: что-то куда-то итерируется. И из-за итераций естественно ожидать какого-то самоподобия.
А вот определение множества Мандельброта кажется странным: почему речь идёт об итерациях именно точки z=0? И из него совсем не видно, почему должен получаться фрактал.

Так вот, давайте на всё это посмотрим и с этим разберёмся. Начнём со случая c=0. Тогда мы итерируем
P_0(z)=z^2,
и его итерации достаточно просто описать. А именно, n-я итерация это z^{2^n}, поэтому:
*) точки z с |z|>1 убегают на бесконечность,
*) точки с |z|<1 падают в ноль,
*) а |z|=1 — окружность, остающаяся на месте, и на которой аргумент (из-за возведения в квадрат) за одну итерацию P_0 удваивается.

В частности, заполненное множество Жюлиа — диск |z|<=1:

Слева на этой картинке (с Элементов) множество Мандельброта, с отмеченной (белой) точкой c=0, а справа — соответствующее множество Жюлиа.

А что будет, если мы возьмём параметр c явно за пределами множества Мандельброта — например, c=5?

Для начала заметим, что если уж какая-то точка z принадлежит заполненному множеству Жюлиа J_c, то она не может быть слишком большой по модулю — иначе модули образов будут только нарастать. Ведь
|P(z)| >= |z|^2 - |c|;
скажем, для |c|<=5 уже при |z|>4 будет |P(z)|>11, потом |P(P(z))|>100, и так далее.
Так что точка из множества Жюлиа J_5 обязательно должна лежать в диске |z|<=4.

Но то же самое можно сказать и про её образ P(z)=z^2+c, поэтому z^2 обязательно содержится в диске с центром в (-5) и радиусом 4. А тогда z содержится в одном из двух прообразов этого диска под действием квадратного корня.

А условие |P(P(z))|<=4 выделит в каждом из этих прообразов ещё два прообраза. И вот у нас получаются вложенные объединения топологических дисков, в каждом диске n-го уровня — два диска n+1-го. Так что точки, которые им всем принадлежат — а это и есть множество Жюлиа для такого c — будут канторовым множеством:

Вот тут точка c это примерно 2.7 — а самого множества Жюлиа справа даже не видно, оно "распалось в канторову пыль". Видны только вложенные области — вне первой из них |P(z)| слишком большой, вне следующей (более светлой) |P(P(z))|, и так далее.

А вот тут я взял параметр c большим отрицательным:

И это уже совсем привычный вид канторова множества.

Так вот, ответ на вопрос про то, а зачем вообще рассматривают множество Мандельброта, и почему там именно итерации z=0, такой:
Теорема. Заполненное множество Жюлиа полинома P_c связно тогда и только тогда, когда критическая точка z=0 этому множеству принадлежит (не убегает на бесконечность). В противном случае оно гомеоморфно канторову множеству.

То есть точка z=0 важна тем, что именно в ней производная P_c обращается в ноль; и если её образы убегают на бесконечность — мы получаем примерно такую же картину, как и просто для z^2+с, где c большое. Ну и вот пара примеров —