Открывающие титры сразу помогают настроиться:

И в заключение исторического экскурса — в лекцию это не вошло, но мне хочется вспомнить Алкуина из Йорка и его задачи для молодёжи —
https://ru.wikipedia.org/wiki/Propositiones_ad_Acuendos_Juvenes

Я помню, как я удивился, когда об этом узнал: больше тысячи лет назад уже были совершенно "кружковские" задачи:
волк, коза и капуста;
переправа трёх ревнивых мужей с жёнами;
и даже(!) сумма чисел от 1 до 100.

И я сейчас прервусь на (начинающуюся через час) другую лекцию. В качестве спойлера — один слайд из неё:

Слева апельсины сложили квадратной решёткой в нижнем слое. Потом положили второй слой в получившиеся дырки, третий слой в дырки второго, и так далее.

По центру — в нижнем слое начали с "треугольной" упаковки. Она плотнее, зато апельсины второго слоя пришлось положить выше, и занять получается только половину "дырок".

Справа — то, что называется кубической гранецентрированной (cubic face-centered) решёткой: центры шаров образуют кубическую решётку, в которой добавлено по ещё по одному в центр каждой грани каждого куба (а синие отрезки это кратчайшие расстояния для упаковки).

Вопрос: какая из них плотнее?

Правильный ответ:
это одна и та же упаковка!

Вот одинаково расположенные шесть шаров на первых двух картинках:

Или же можно посмотреть на "боковую грань" квадратно-упакованных апельсинов — и увидеть, что они там упакованы "треугольным" образом:

Наконец, в одной вертикальной плоскости cfc-упаковки центры образуют как раз квадратную сетку — только с поворотом на 45 градусов:

А точки в центрах граней других направлений как раз образуют решётку "со сдвигом".

В этой упаковке, кстати, реализуется контактное число в размерности 3 — каждого шара касаются ровно 12 других (в варианте треугольной упаковки — 6 в том же слое, 3 сверху и 3 снизу). А вот посвящённый вопросу о контактном числе мультфильм "Математических Этюдов" — https://www.etudes.ru/ru/etudes/contact-number/

344. Можно ли расположить в пространстве 13 одинаковых шариков так, чтобы они не пересекались и при этом 12 шариков касались одного.

#задача