И я сейчас прервусь на (начинающуюся через час) другую лекцию. В качестве спойлера — один слайд из неё:

Слева апельсины сложили квадратной решёткой в нижнем слое. Потом положили второй слой в получившиеся дырки, третий слой в дырки второго, и так далее.

По центру — в нижнем слое начали с "треугольной" упаковки. Она плотнее, зато апельсины второго слоя пришлось положить выше, и занять получается только половину "дырок".

Справа — то, что называется кубической гранецентрированной (cubic face-centered) решёткой: центры шаров образуют кубическую решётку, в которой добавлено по ещё по одному в центр каждой грани каждого куба (а синие отрезки это кратчайшие расстояния для упаковки).

Вопрос: какая из них плотнее?

Правильный ответ:
это одна и та же упаковка!

Вот одинаково расположенные шесть шаров на первых двух картинках:

Или же можно посмотреть на "боковую грань" квадратно-упакованных апельсинов — и увидеть, что они там упакованы "треугольным" образом:

Наконец, в одной вертикальной плоскости cfc-упаковки центры образуют как раз квадратную сетку — только с поворотом на 45 градусов:

А точки в центрах граней других направлений как раз образуют решётку "со сдвигом".

В этой упаковке, кстати, реализуется контактное число в размерности 3 — каждого шара касаются ровно 12 других (в варианте треугольной упаковки — 6 в том же слое, 3 сверху и 3 снизу). А вот посвящённый вопросу о контактном числе мультфильм "Математических Этюдов" — https://www.etudes.ru/ru/etudes/contact-number/

344. Можно ли расположить в пространстве 13 одинаковых шариков так, чтобы они не пересекались и при этом 12 шариков касались одного.

#задача

Собственно, интересно, что у задачи выше есть очень много решений: например, вместо того, чтобы выделять часть большой упаковки, можно разместить эти 12 шаров в вершинах правильного икосаэдра. И — их можно катать, не отрывая от поверхности внутреннего шара И даже реализовывать нетривиальные их перестановки — то ли чётные, то ли вообще все; одну такую перестановку — цикл длины 5 — показывают в фильме (2:50-3:10), а всех таких циклов хватит, чтобы породить все чётные перестановки.

Давайте я ещё поделюсь вот таким фото из — тоже посвящённого решёткам и упаковкам, но более короткого — рассказа Жени Смирнова, https://www.youtube.com/watch?v=AHP3jPJ2T7k&feature=youtu.be :

Видно, что на одной грани ядра сложены треугольным образом, а на другой — квадратным.

Да, про ядра: четыре года назад Константин Новосёлов (нобелевская премия за графен) читал лекцию на ВсОШ-2016 по математике. Он рассказывал много чего — но ещё мне запомнилась забавная история: графит был стратегическим сырьём задолго до атомной бомбы. Потому что применялся при отливке пушечных ядер!