Теперь поместим в центр квадрата маленький круг, касающийся этих четырёх:

И то же самое сделаем в размерности 3 (восемь единичных шаров и маленький шарик в центре, их всех касающийся), и продолжим во всех старших размерностях.
Вопрос: чему равен диаметр центрального шарика? И как он меняется с ростом размерности n?

Удивительный ответ — начиная с размерности 5, центральный шарик становится больше остальных. А начиная с размерности 10, он пересекает границу исходного куба с ребром 2!

Правда, при взгляде на двумерную картинку в это не верится?

Выкладка тут, на самом деле, очень простая. Сначала посмотрим на центры исходных шаров — они находятся в вершинах единичного куба. Диагональ этого куба равна — по теореме Пифагора — корню из n (ибо корень из 1^2+...+1^2).

Из этого корня из n единица уходит на два радиуса=диаметр двух противоположных шаров. И остаётся диаметр центрального шара — равный, тем самым,
\sqrt{n}-1.

При n>4 этот диаметр больше 1, а при n>9 — больше 2. И ответ на вопрос, "а как же он за границу куба вылезет" — "по центру грани, где ему не помешают".
Собственно, двумерную картинку выше можно мысленно себе представить как трёхмерную, на которую мы смотрим с одной из граней — и там понятно, что центральный шарик будет уже больше (а точки касания с четырьмя видимыми нам шарами будут на невидимой нам их части).

Но самое интересное — это что при n=4 центральный шарик оказывается равным остальным. И это позволяет сделать вот такую красивую упаковку шаров в четырёхмерном пространстве: сначала упаковываем "гиперкубически" (так, чтобы центры образовывали решётку Z^4), а потом добавляем ещё по одному такому же шару в центр каждого гиперкуба — там как раз для него есть место.

Получается шахматная решётка.

Вопрос: а сколько и каких шаров в такой упаковке касаются одного фиксированного?

Ответ — 24.
А именно — 2^4=16 шаров в вершинах гиперкуба будут касаться центрального шара. Но ещё его будут касаться центральные шары из 2*4=8 соседних гиперкубов!
Поэтому и 16+8=24.
Если говорить на языке кратчайших векторов решётки, то первые соответствуют 16 расстановкам знаков для векторов (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2), а вторые — 8 векторам вида "±1 по одной координате, 0 по остальным".

И эти 24 центра образуют правильный многогранник в четырёхмерном пространстве — один из трёх нетривиальных!
В любой размерности есть правильные многогранники — (гипер)куб, симплекс (аналог тетраэдра) и "гипероктаэдр" (двойственный к кубу). Но в размерностях, больших 4, больше ничего нет.
В размерности 3 есть ещё двойственные друг другу додекаэдр и икосаэдр.
А в размерности 4 есть ещё три нетривиальных правильных многогранника — тот самый (самодвойственный) 24-вершинник, и двойственные друг другу 120- и 600-вершинники.

Вот так этот 24-вершинник выглядит:

Такая картинка получается, если его сначала "раздуть" до трёхмерной сферы (вложенной в R^4) — а потом стереографически спроецировать эту сферу на R^3.
И это кадр из фильма "Dimensions" (http://dimensions-math.org/Dim_RU.htm ), который сделали в своё время Etienne Ghys (Этьен Жис), Jos Leys и Aurelien Alvarez — состоящий из девяти 13-минутных глав.

Самые красивые картинки правильных 4-мерных многогранников появляются в четвёртой главе, вот тут — https://youtu.be/74yIvy0F1bk?t=6m40s .
А ещё два года назад Женя Смирнов читал в ЛШСМ курс про правильные многогранники —
https://www.mccme.ru/dubna/2018/courses/esmirnov.html — и я очень советую текст его записок:
http://www.mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-reflections-v2.pdf

Связывая разные кусочки — вот одно упражнение из середины (глава "2 1/2", почти "9 3/4") —

12 июня — традиционный день Арнольда: Арнольдовская лекция А.М.Вершика и лекция Арнольдовского стипендиата Романа Крутовского

https://math.hse.ru/announcements/371576993.html