344. Можно ли расположить в пространстве 13 одинаковых шариков так, чтобы они не пересекались и при этом 12 шариков касались одного.

#задача

Собственно, интересно, что у задачи выше есть очень много решений: например, вместо того, чтобы выделять часть большой упаковки, можно разместить эти 12 шаров в вершинах правильного икосаэдра. И — их можно катать, не отрывая от поверхности внутреннего шара И даже реализовывать нетривиальные их перестановки — то ли чётные, то ли вообще все; одну такую перестановку — цикл длины 5 — показывают в фильме (2:50-3:10), а всех таких циклов хватит, чтобы породить все чётные перестановки.

Давайте я ещё поделюсь вот таким фото из — тоже посвящённого решёткам и упаковкам, но более короткого — рассказа Жени Смирнова, https://www.youtube.com/watch?v=AHP3jPJ2T7k&feature=youtu.be :

Видно, что на одной грани ядра сложены треугольным образом, а на другой — квадратным.

Да, про ядра: четыре года назад Константин Новосёлов (нобелевская премия за графен) читал лекцию на ВсОШ-2016 по математике. Он рассказывал много чего — но ещё мне запомнилась забавная история: графит был стратегическим сырьём задолго до атомной бомбы. Потому что применялся при отливке пушечных ядер!

Отсюда — https://books.google.fr/books?id=eaRFAAAAcAAJ&pg=PA415&redir_esc=y#v=onepage

Да, собственно, эта лекция (которую я читал в Computer Science Club — https://compsciclub.ru/courses/csseminar/2020-spring/classes/5816/ ) была как раз посвящена решёткам, упаковкам шаров и кодам — и мне хочется несколько кусочков оттуда пересказать и тут.

Первый кусочек, простой, но меня в своё время сильно удививший. Возьмём квадрат со стороной 2, поделим на четыре равных квадрата, впишем в каждый по кругу единичного диаметра:

Теперь поместим в центр квадрата маленький круг, касающийся этих четырёх:

И то же самое сделаем в размерности 3 (восемь единичных шаров и маленький шарик в центре, их всех касающийся), и продолжим во всех старших размерностях.
Вопрос: чему равен диаметр центрального шарика? И как он меняется с ростом размерности n?

Удивительный ответ — начиная с размерности 5, центральный шарик становится больше остальных. А начиная с размерности 10, он пересекает границу исходного куба с ребром 2!

Правда, при взгляде на двумерную картинку в это не верится?

Выкладка тут, на самом деле, очень простая. Сначала посмотрим на центры исходных шаров — они находятся в вершинах единичного куба. Диагональ этого куба равна — по теореме Пифагора — корню из n (ибо корень из 1^2+...+1^2).

Из этого корня из n единица уходит на два радиуса=диаметр двух противоположных шаров. И остаётся диаметр центрального шара — равный, тем самым,
\sqrt{n}-1.

При n>4 этот диаметр больше 1, а при n>9 — больше 2. И ответ на вопрос, "а как же он за границу куба вылезет" — "по центру грани, где ему не помешают".
Собственно, двумерную картинку выше можно мысленно себе представить как трёхмерную, на которую мы смотрим с одной из граней — и там понятно, что центральный шарик будет уже больше (а точки касания с четырьмя видимыми нам шарами будут на невидимой нам их части).

Но самое интересное — это что при n=4 центральный шарик оказывается равным остальным. И это позволяет сделать вот такую красивую упаковку шаров в четырёхмерном пространстве: сначала упаковываем "гиперкубически" (так, чтобы центры образовывали решётку Z^4), а потом добавляем ещё по одному такому же шару в центр каждого гиперкуба — там как раз для него есть место.

Получается шахматная решётка.

Вопрос: а сколько и каких шаров в такой упаковке касаются одного фиксированного?