Давайте продолжим — и раз уж у нас всплыли правильные многогранники, то тут есть ответвление, которое нельзя не упомянуть: давайте построим два оставшихся четырёхмерных правильных многогранника. Точнее, построим 120-вершинник, а 120-гранник с 600 вершинами будет просто двойственным к нему. И для этого — посмотрим, какая связь между кватернионами и вращениями трёхмерного пространства.

Про кватернионы есть замечательная книга В. И. Арнольда, "Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов" — https://www.mccme.ru/free-books/izdano/2002/VIA-kvatern.pdf — которую мне хочется всячески порекламировать (а мой рассказ тут близко следует ей — а точнее, той лекции В.И.А. на малом мехмате, из которой она получилась).

Так вот: у нас есть кватернионы, числа вида a+bi+cj+dk с некоммутативным умножением:

И как и в комплексных числах, в них есть сопряжение, изменяющее знак у всех трёх "мнимых единиц" i, j и k:

Но в отличие от комплексных чисел, в кватернионах сопряжение изменяет порядок сомножителей:

Это несложно проверить (собственно, это как раз и есть антикоммутативность произведения на разных мнимых единицах); а произведение z*conj(z) это квадрат длины z как вектора в R^4.
Собственно, вещественная часть сразу видно, что будет равна a^2+b^2+c^2+d^2, а мнимые компоненты можно или проверить, что сократятся, или сказать, что z*conj(z) сохраняется сопряжением:

А, значит, это произведение чисто вещественно. Что более нетривиально — модуль произведения, как и в комплексных числах, оказывается равен произведению модулей:

В качестве шага в сторону — отсюда получается, что если два числа представимы в виде суммы четырёх квадратов, то представимо в виде суммы четырёх квадратов и их произведение. Поэтому теорему Лагранжа о том, что в виде суммы четырёх квадратов представляется любое натуральное число, достаточно доказывать лишь для простых чисел.

Но давайте вернёмся к кватернионам и к их младшим братьям — комплексным числам. Если у нас есть комплексное число q, равное 1 по модулю, то можно рассмотреть умножение на q как отображение комплексной плоскости в себя,
M_q : z-> qz.
И поскольку |qz|=|q|*|z| — это движение. Причём сохраняющее ноль, и несложно (например, по непрерывности) увидеть, что это поворот. На угол, равный аргументу q — потому что 1 переходит в q. Поэтому при перемножении комплексных чисел аргументы складываются — и формулы для косинуса и синуса суммы это на самом деле одна формула,

— только в ней раскрыты скобки. В частности, тот самый "минус" для косинуса суммы,

это i^2=-1.

Но это совсем стандартные вещи — а вернёмся к кватернионам. Они некоммутативные — и если есть кватернион q с |q|=1, то можно умножать кватернионы на q как слева, так и справа: