И как и в комплексных числах, в них есть сопряжение, изменяющее знак у всех трёх "мнимых единиц" i, j и k:
Но в отличие от комплексных чисел, в кватернионах сопряжение изменяет порядок сомножителей:
Это несложно проверить (собственно, это как раз и есть антикоммутативность произведения на разных мнимых единицах); а произведение z*conj(z) это квадрат длины z как вектора в R^4.
Собственно, вещественная часть сразу видно, что будет равна a^2+b^2+c^2+d^2, а мнимые компоненты можно или проверить, что сократятся, или сказать, что z*conj(z) сохраняется сопряжением:
Собственно, вещественная часть сразу видно, что будет равна a^2+b^2+c^2+d^2, а мнимые компоненты можно или проверить, что сократятся, или сказать, что z*conj(z) сохраняется сопряжением:
А, значит, это произведение чисто вещественно. Что более нетривиально — модуль произведения, как и в комплексных числах, оказывается равен произведению модулей:
В качестве шага в сторону — отсюда получается, что если два числа представимы в виде суммы четырёх квадратов, то представимо в виде суммы четырёх квадратов и их произведение. Поэтому теорему Лагранжа о том, что в виде суммы четырёх квадратов представляется любое натуральное число, достаточно доказывать лишь для простых чисел.
Но давайте вернёмся к кватернионам и к их младшим братьям — комплексным числам. Если у нас есть комплексное число q, равное 1 по модулю, то можно рассмотреть умножение на q как отображение комплексной плоскости в себя,
M_q : z-> qz.
И поскольку |qz|=|q|*|z| — это движение. Причём сохраняющее ноль, и несложно (например, по непрерывности) увидеть, что это поворот. На угол, равный аргументу q — потому что 1 переходит в q. Поэтому при перемножении комплексных чисел аргументы складываются — и формулы для косинуса и синуса суммы это на самом деле одна формула,
M_q : z-> qz.
И поскольку |qz|=|q|*|z| — это движение. Причём сохраняющее ноль, и несложно (например, по непрерывности) увидеть, что это поворот. На угол, равный аргументу q — потому что 1 переходит в q. Поэтому при перемножении комплексных чисел аргументы складываются — и формулы для косинуса и синуса суммы это на самом деле одна формула,
— только в ней раскрыты скобки. В частности, тот самый "минус" для косинуса суммы,
Но это совсем стандартные вещи — а вернёмся к кватернионам. Они некоммутативные — и если есть кватернион q с |q|=1, то можно умножать кватернионы на q как слева, так и справа:
И оба этих умножения будут движениями четырёхмерного пространства R^4=H, потому что |qz|=|zq|=|z|.
Да, кстати. Точно так же, как единичная окружность на комплексной плоскости является группой по умножению — точно так же (уже некоммутативной!) группой по умножению будет трёхмерная сфера S^3 кватернионов единичной длины.
Так вот: давайте возьмём такой "единичный" кватернион q и умножим на него слева — и на обратный к нему \conj(q)=q^{-1} справа: