Но это совсем стандартные вещи — а вернёмся к кватернионам. Они некоммутативные — и если есть кватернион q с |q|=1, то можно умножать кватернионы на q как слева, так и справа:
И оба этих умножения будут движениями четырёхмерного пространства R^4=H, потому что |qz|=|zq|=|z|.
Да, кстати. Точно так же, как единичная окружность на комплексной плоскости является группой по умножению — точно так же (уже некоммутативной!) группой по умножению будет трёхмерная сфера S^3 кватернионов единичной длины.
Так вот: давайте возьмём такой "единичный" кватернион q и умножим на него слева — и на обратный к нему \conj(q)=q^{-1} справа:
Во-первых, получилось движение четырёхмерного пространства (потому что и по отдельности эти умножения были движениями).
Во-вторых, единицу — а значит, и всю вещественную прямую — оно оставляет на месте.
И значит, оставляет на месте как множество и трёхмерное пространство чисто мнимых кватернионов — ортогональное дополнение к вещественной прямой.
То есть всякому кватерниону единичной длины q сопоставляется вращение трёхмерного пространства {bi+cj+dk} чисто мнимых кватернионов.
Причём это отображение почти взаимно-однозначно — единственное, что в q можно поменять, это знак. (Что не очень сложно проверить.)
Поэтому вращение трёхмерного пространства кодируется кватернионом единичной длины, заданным однозначно с точностью до знака. Иными словами, группа S^3 двулистно накрывает группу SO(3).
Поэтому вращение трёхмерного пространства кодируется кватернионом единичной длины, заданным однозначно с точностью до знака. Иными словами, группа S^3 двулистно накрывает группу SO(3).
И — вот такое вполне применяется для задания/хранения ориентации что для спутников, что в видеоиграх.
В отличие от углов Эйлера — "курс, тангаж, крен" — тут нет направления, где будет "деление на ноль" (у летящего вертикально вверх истребителя курса нет), легко считается композиция (перемножить кватернионы, и вся недолга).
В отличие от матриц — по крайней мере, ошибки округления (если экономить память) не уведут нас с множества ортогональных матриц, и не будет вопроса, "как бы получше выбрать ближайшую ортогональную матрицу", когда ошибки накопятся.
В отличие от углов Эйлера — "курс, тангаж, крен" — тут нет направления, где будет "деление на ноль" (у летящего вертикально вверх истребителя курса нет), легко считается композиция (перемножить кватернионы, и вся недолга).
В отличие от матриц — по крайней мере, ошибки округления (если экономить память) не уведут нас с множества ортогональных матриц, и не будет вопроса, "как бы получше выбрать ближайшую ортогональную матрицу", когда ошибки накопятся.
Кстати — вот если умножать слева и справа на разные кватернионы (и справа — на обратный),
то получается гомоморфизм
S^3 x S^3 -> SO(4),
потому что умножения слева и справа коммутируют.
S^3 x S^3 -> SO(4),
потому что умножения слева и справа коммутируют.
И несложно увидеть, что образ у него всё, а ядро — это только (1,1) и (-1,-1). И вот ещё одно двулистное накрытие (а заодно разложение алгебры Ли so(4) в прямую сумму двух копий so(3)).
Так вот, вернёмся наконец к нашим четырёхмерным правильным многогранникам. Чтобы задать многогранник, достаточно задать его вершины — и их естественно выбирать на той самой единичной сфере в R^4 = H.
Так вот — давайте возьмём группу вращений правильного тетраэдра. Она действует чётными перестановками его вершин — поэтому в ней 12 элементов. (Кстати, хорошее упражнение это перечислить их, ничего не забыв!)
И давайте возьмём у неё полный прообраз при отображении S^3->SO(3). Получим 24 точки на единичной сфере в четырёхмерном пространстве. И мы их уже видели: