А теперь возьмём вместо тетраэдра — икосаэдр или додекаэдр, благо, из-за их двойственности группа вращений у них одна и та же.

Группа вращений у додекаэдра состоит из 12*5=60 элементов: любую грань можно перевести в любую, а дальше есть 5 вариантов поворотов.

Собственно, как группа она изоморфна A_5, группе чётных перестановок 5 элементов, и есть красивый ответ на вопрос "а какие 5 элементов переставляются": это 5 вписанных в додекаэдр кубов.

Вот тут изображён один такой куб —
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cube_in_dodecahedron.png — а любая диагональ в грани дальше однозначно достраивается, поэтому их 5.

(Кстати, это ещё и способ рисовать додекаэдр — сначала нарисовать куб, а потом на каждую его грань приделать по согласованной "крыше дома")

Ну так вот — у нас есть замечательная группа из 60 вращений. Давайте у неё возьмём прообраз в S^3 — получится очень симметричный набор из 120 точек. Это и есть 120 вершин правильного четырёхмерного 600-гранника!

Наконец, двойственный к нему — 120-гранник; его изображение — один из моих любимых кадров фильма Жиса, Лейса и Альвареса, который я тут уже упоминал:

Кстати: если у нас на трёхмерной сфере задана функция, которую мы хотим проинтегрировать (или, что то же самое с точностью до множителя, усреднить), можно приблизить её среднее средним арифметическим по удачно расположенным точкам. Так вот — усреднение по этим 120 вершинам оказывается очень точным приближением: http://mi.mathnet.ru/mz863 (да, а Андреев тут — тот самый, который "Математические этюды").

Да, последнее про кватернионы — кусочек из "Математической составляющей", https://book.etudes.ru/toc/quaternions/
(кстати, автор этой главы — летавший космонавт: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B8%D0%BD,_%D0%AE%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87 )

А я возвращаюсь к обещанному построению замечательной решётки E_8, которая даёт плотнейшую упаковку шаров в 8-мерном пространстве, а также максимизирует контактное число, ну и замечательна далеко не только этим.

Если мы уже знаем, что центры шаров будут размещены в узлах решётки, то количество их обратно пропорционально объёму фундаментального параллелепипеда решётки (его ещё называют кообъёмом ), потому что на каждый фундаментальный параллелепипед приходится по одному центру (в фиксированном его углу):

С другой стороны, объём одного шара пропорционален n-й степени его радиуса (или диаметра), а максимальный диаметр, который можно взять, равен наименьшему расстоянию d_{min} между узлами решётки. Поэтому плотность упаковки, получающейся из решётки, пропорциональна отношению n-й степени этого диаметра к кообъёму:

И естественно, что получается величина, инвариантная относительно гомотетии. Поэтому можно либо ограничиться решётками, у которых d_{min}=1, и минимизировать кообъём, либо наоборот, ограничиться решётками с единичным кообъёмом, и максимизировать d_{min}.
Так вот, давайте пока примем именно второй подход. Так, если мы возьмём просто кубическую упаковку Z^8, то d_{min} будет равен 1.

Для оптимальной решётки наименьшее расстояние будет в \sqrt{2} раз больше — так что упаковка получится в \sqrt{2}^8=2^4=16 раз более плотной!

Так вот — давайте эту решётку построим. Для этого сначала выделим в Z^8 подрешётку \Lambda индекса 2 — вектора с чётной суммой цифр. При этом кообъём удвоится (потому что мы оставили только половину узлов)

А теперь добавим к этой решётке её же, сдвинутую на вектор
v=(1/2,1/2,...,1/2).

Мы и получаем искомую решётку: