Так вот, кратчайшие вектора решётки E_8 образуют систему корней E_8. И хорошее упражнение — посчитать, сколько их.

Можно посчитать для конструкции через чётную сумму и сдвиг на (1/2,...,1/2).

Тогда будет:
(8*7/2) * 4 = 112 векторов вида (±1,±1, 0,...,0), где ±1 стоят на произвольных двух местах;
и ещё 128 векторов вида (±1/2,±1/2,....,±1/2), где число знаков "-" чётно.
Итого 112+128=240.

Можно в конструкции через код Хэмминга: в расширенном коде Хэмминга один вектор нулевой, один состоит из восьми единиц, а остальные 16-2=14 веса 4.

Каждый из них порождает 16*14= 224 прообраза длины \srqt{2} (потому что все возможные выборы знака).
Да ещё (как и в случае с шахматной решёткой, их тоже надо не забыть!)
2*8=16 векторов вида (±\sqrt{2},0,...,0).
Итого: 224+16=240.

Да — поскольку эти 240 векторов это кратчайшие вектора решётки, то контактное число в размерности 8 не меньше 240. Так вот, оно равно 240 — так что решётка E_8 в этом смысле оптимальна.

А ещё можно посмотреть на производящую функцию для (половин) квадратов длин векторов решётки:

Для решётки E_8 получаем
1 + 240 q + ... .

А ещё можно посмотреть вот на такую функцию — ряд Эйзенштейна E_4 . Я не буду давать определение прямо сейчас, а ограничусь цитатой отсюда (https://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_series#As_theta_functions ):

Так вот, это — одно и то же число 240, и более того, эти ряды (ряд, пришедший из комплексного анализа, и ряд-производящая функция) совпадают!

Да, возвращаясь к системам корней, раз мы уже посчитали кратчайшие вектора — я процитирую одну страницу из той же брошюры Жени Смирнова про группы отражений и правильные многогранники, что я уже упоминал:

И закончу свой сегодняшний рассказ тем, как решётка E_8 была построена в исходных работах Коркина и Золотарёва (а это ещё 1873 год!). Оказывается, они строили не решётку внутри пространства, а "пространство вокруг решётки". А именно — брали Z^8 и на нём задавали другое "скалярное произведение" (квадратичную форму). Тогда достаточно, чтобы оно было положительно определённым, чтобы квадраты элементов Z^8 были бы чётными, и чтобы определитель задающей его матрицы был бы равен 1.

И, собственно, их статья так и называется — "О квадратичных формах":

Ну и на этом я, пожалуй, на сегодня прекращаю дозволенные речи.

Давайте я продолжу рассказ про решётки. И нам тут понадобятся ещё две вещи, полезные и сами по себе.
Одна из них — это преобразование Фурье на прямой.

Возьмём сначала окружность длины L: