Для решётки E_8 получаем
1 + 240 q + ... .

А ещё можно посмотреть вот на такую функцию — ряд Эйзенштейна E_4 . Я не буду давать определение прямо сейчас, а ограничусь цитатой отсюда (https://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_series#As_theta_functions ):

Так вот, это — одно и то же число 240, и более того, эти ряды (ряд, пришедший из комплексного анализа, и ряд-производящая функция) совпадают!

Да, возвращаясь к системам корней, раз мы уже посчитали кратчайшие вектора — я процитирую одну страницу из той же брошюры Жени Смирнова про группы отражений и правильные многогранники, что я уже упоминал:

И закончу свой сегодняшний рассказ тем, как решётка E_8 была построена в исходных работах Коркина и Золотарёва (а это ещё 1873 год!). Оказывается, они строили не решётку внутри пространства, а "пространство вокруг решётки". А именно — брали Z^8 и на нём задавали другое "скалярное произведение" (квадратичную форму). Тогда достаточно, чтобы оно было положительно определённым, чтобы квадраты элементов Z^8 были бы чётными, и чтобы определитель задающей его матрицы был бы равен 1.

И, собственно, их статья так и называется — "О квадратичных формах":

Ну и на этом я, пожалуй, на сегодня прекращаю дозволенные речи.

Давайте я продолжу рассказ про решётки. И нам тут понадобятся ещё две вещи, полезные и сами по себе.
Одна из них — это преобразование Фурье на прямой.

Возьмём сначала окружность длины L:

В "хороших" (комплекснозначных) функциях на ней есть базис Фурье:

Этот базис (записанный именно в таком виде) ортогональный, но не нормированный: скалярный квадрат каждого из векторов равен длине окружности L.

Теперь можно любую "хорошую" функцию по такому базису разложить, пользуясь общей процедурой разложения по ортогональному базису — спроецируем её на каждый базисный вектор и сложим результаты:

где y_k=k/L — соответствующие частоты.

Но тогда на (1/L) можно посмотреть, как на разность двух соседних частот: