Давайте её применим, чтобы оценить C_{2n}^n.
Неизвестный нам коэффициент A вылезет один раз в числителе — и два раза в знаменателе, так что не сократится:
Неизвестный нам коэффициент A вылезет один раз в числителе — и два раза в знаменателе, так что не сократится:
Соответственно, вероятность получить в 2n подбрасываниях (n+k) орлов примерно равна
С одной стороны, сумма вероятностей равна единице (ну или сумма биномиальных коэффициентов — соответствующей степени двойки).
С другой, сумма правых частей, если обозначить x_k = k/\sqrt{n}, оказывается интегральной суммой Римана для интеграла от e^{-x^2}:
И стремится с ростом n она к соответствующему интегралу:
А поскольку предел должен равняться единице — мы (почти) нашли A:
Остаётся посчитать интеграл в правой части. Как мы уже знаем из продекларированного ответа, он должен равняться корню из π.
Есть такой неформальный принцип — пи может появиться только как длина окружности, всё, где оно возникает, должно быть как-то с окружностью связано. Пусть опосредованно, пусть не сразу видно — но где-то окружность должна быть закопана.
Поэтому корень из пи — штука странная. Гораздо лучше возвести этот интеграл в квадрат:
После чего увидеть, что правая часть инвариантна относительно поворотов — и вот она, _окружность_ направлений!
Переход в полярные координаты, или (на школьно/физическом уровне строгости) нарезание плоскости на кольца
r^2 <= x^2+y^2 < (r+dr)^2 )
легко довершит дело — и я оставлю тут это как упражнение.
r^2 <= x^2+y^2 < (r+dr)^2 )
легко довершит дело — и я оставлю тут это как упражнение.
Но на самом деле мы на этом пути получили больше: то, что мы только что проделали, называется предельной теоремой Муавра-Лапласа, простейшим частным случаем предельной теоремы.
Хорошая анимированная иллюстрация к тому, что мы увидели —