С одной стороны, сумма вероятностей равна единице (ну или сумма биномиальных коэффициентов — соответствующей степени двойки).
С другой, сумма правых частей, если обозначить x_k = k/\sqrt{n}, оказывается интегральной суммой Римана для интеграла от e^{-x^2}:
И стремится с ростом n она к соответствующему интегралу:
А поскольку предел должен равняться единице — мы (почти) нашли A:
Остаётся посчитать интеграл в правой части. Как мы уже знаем из продекларированного ответа, он должен равняться корню из π.
Есть такой неформальный принцип — пи может появиться только как длина окружности, всё, где оно возникает, должно быть как-то с окружностью связано. Пусть опосредованно, пусть не сразу видно — но где-то окружность должна быть закопана.
Поэтому корень из пи — штука странная. Гораздо лучше возвести этот интеграл в квадрат:
После чего увидеть, что правая часть инвариантна относительно поворотов — и вот она, _окружность_ направлений!
Переход в полярные координаты, или (на школьно/физическом уровне строгости) нарезание плоскости на кольца
r^2 <= x^2+y^2 < (r+dr)^2 )
легко довершит дело — и я оставлю тут это как упражнение.
r^2 <= x^2+y^2 < (r+dr)^2 )
легко довершит дело — и я оставлю тут это как упражнение.
Но на самом деле мы на этом пути получили больше: то, что мы только что проделали, называется предельной теоремой Муавра-Лапласа, простейшим частным случаем предельной теоремы.
Хорошая анимированная иллюстрация к тому, что мы увидели —
Вообще, центральная предельная теорема утверждает вот что. Пусть если мы рассматриваем сумму большого числа "разумных" (не слишком "больших"), более-менее сравнимых и независимых случайных слагаемых (например, считая количество орлов за десять тысяч подбрасываний монетки).
У такой суммы будет какое-то среднее значение; и будут отклонения от него.
Среднее значение на то и среднее, чтобы в среднем отклонения "в плюс" и "в минус" были одинаковы. Но можно посмотреть на среднеквадратичное отклонение (на дисперсию, для тех, кому знакомо это слово).