В "хороших" (комплекснозначных) функциях на ней есть базис Фурье:
Этот базис (записанный именно в таком виде) ортогональный, но не нормированный: скалярный квадрат каждого из векторов равен длине окружности L.
Теперь можно любую "хорошую" функцию по такому базису разложить, пользуясь общей процедурой разложения по ортогональному базису — спроецируем её на каждый базисный вектор и сложим результаты:
Но тогда на (1/L) можно посмотреть, как на разность двух соседних частот:
И эта формула становится очень похожей на интегральную сумму Римана.
Если теперь есть "хорошая" (достаточно гладкая и убывающая на бесконечности, например) функция f на прямой — её можно приблизить функциями f_{(L)} на окружностях L всё большей длины. Например, взяв сумму по L-сдвигам
\sum_n f(x+nL),
или ещё как-нибудь. Каждую такую функцию можно разложить в ряд Фурье:
\sum_n f(x+nL),
или ещё как-нибудь. Каждую такую функцию можно разложить в ряд Фурье:
И в пределе при L, стремящемся к бесконечности, получается
И вот у нас и появились прямое и обратное преобразования Фурье на прямой.
На всякий случай — это рассуждение пока на уровне "рукомахания". Его можно чуть-чуть доработать напильником — но мне хотелось его показать в таком виде, чтобы было видно, "откуда 2π".
Собственно, тут есть различные конвенции — можно писать преобразование Фурье без 2π в экспоненте — но тогда придётся либо делить на корень из 2π при каждом из переходов, либо в одну сторону не делить вообще, а в другую делить на 2π. И я помню, как я в своё время удивлялся, "откуда же оно взялось". Ну вот один способ это 2π понять — вот такой.
Да, и — на протяжении этого рассказа у нас 2π будет в экспоненте: для многих вещей тут так удобнее.
Да, и — на протяжении этого рассказа у нас 2π будет в экспоненте: для многих вещей тут так удобнее.
Вторая обещанная общая вещь — это формула суммирования Пуассона.
Пусть опять на прямой задана достаточно хорошая (гладкая и хорошо убывающая) функция f. Оказывается, что сумма её значений в целых точках совпадает с суммой значений в целых точках её преобразования Фурье:
Пусть опять на прямой задана достаточно хорошая (гладкая и хорошо убывающая) функция f. Оказывается, что сумма её значений в целых точках совпадает с суммой значений в целых точках её преобразования Фурье:
И удивительным образом, хоть утверждение симметричное по функции и её преобразованию Фурье — симметричного доказательства я не знаю.
Давайте её докажем — и для этого давайте сдвинем f на все целые числа и просуммируем (собственно, мы такую "периодизацию" уже обсуждали чуть выше, только тогда сдвигали на кратные L):