И эта формула становится очень похожей на интегральную сумму Римана.

Если теперь есть "хорошая" (достаточно гладкая и убывающая на бесконечности, например) функция f на прямой — её можно приблизить функциями f_{(L)} на окружностях L всё большей длины. Например, взяв сумму по L-сдвигам
\sum_n f(x+nL),
или ещё как-нибудь. Каждую такую функцию можно разложить в ряд Фурье:

И в пределе при L, стремящемся к бесконечности, получается

И вот у нас и появились прямое и обратное преобразования Фурье на прямой.

На всякий случай — это рассуждение пока на уровне "рукомахания". Его можно чуть-чуть доработать напильником — но мне хотелось его показать в таком виде, чтобы было видно, "откуда 2π".

Собственно, тут есть различные конвенции — можно писать преобразование Фурье без 2π в экспоненте — но тогда придётся либо делить на корень из 2π при каждом из переходов, либо в одну сторону не делить вообще, а в другую делить на 2π. И я помню, как я в своё время удивлялся, "откуда же оно взялось". Ну вот один способ это 2π понять — вот такой.
Да, и — на протяжении этого рассказа у нас 2π будет в экспоненте: для многих вещей тут так удобнее.

Вторая обещанная общая вещь — это формула суммирования Пуассона.
Пусть опять на прямой задана достаточно хорошая (гладкая и хорошо убывающая) функция f. Оказывается, что сумма её значений в целых точках совпадает с суммой значений в целых точках её преобразования Фурье:

И удивительным образом, хоть утверждение симметричное по функции и её преобразованию Фурье — симметричного доказательства я не знаю.

Давайте её докажем — и для этого давайте сдвинем f на все целые числа и просуммируем (собственно, мы такую "периодизацию" уже обсуждали чуть выше, только тогда сдвигали на кратные L):

Получилась функция F на единичной окружности. У которой левая часть формулы Пуассона — это просто значение в нуле.

Но если аккуратно посмотреть — то коэффициенты Фурье функции F это в точности значения преобразования Фурье исходной f в целых точках:

А сумма коэффициентов Фурье — это и есть значение F в нуле (потому что каждая из экспонент в нём даёт единицу). И вот всё и доказано:

А что будет, если мы в левой части будем суммировать не по Z, а по L*Z? Тогда, как несложно видеть, появится множитель (1/L) в правой части, а сумма там будет не по Z, а по (1/L)*Z — по тем частотам, которые укладываются на фактор-окружность длины L: