Но если аккуратно посмотреть — то коэффициенты Фурье функции F это в точности значения преобразования Фурье исходной f в целых точках:

А сумма коэффициентов Фурье — это и есть значение F в нуле (потому что каждая из экспонент в нём даёт единицу). И вот всё и доказано:

А что будет, если мы в левой части будем суммировать не по Z, а по L*Z? Тогда, как несложно видеть, появится множитель (1/L) в правой части, а сумма там будет не по Z, а по (1/L)*Z — по тем частотам, которые укладываются на фактор-окружность длины L:

Наконец, а что будет, если взять функцию не на прямой, а в пространстве, и суммировать её по решётке? Тогда в правой части в знаменателе будет кообъём решётки, а сумма там будет по двойственной решётке тех частот, с которыми может "звучать" тор-фактор:

Как раз, если мы захотим устроить ряд Фурье на торе R^n/Λ, то условием, чтобы экспонента
\exp(2πi * <u,x>)
на нём была определена (то есть не менялась при сдвигах на Λ, и будет, что u принадлежит двойственной к Λ решётке).

Вот. Ну и — формула Пуассона замечательная как сама по себе, так и своими применениями.
(По этой дороге я сейчас не пойду, но функциональное уравнение для дзета-функции Римана — которое связывает \zeta(s) с \zeta(1-s) — тоже вытаскивается отсюда, и это простая и короткая история.)

Давайте теперь вернёмся к вопросу плотности упаковок — и попробуем посмотреть, а как, хотя бы в принципе, можно было бы их оценивать? Вот хоть как-нибудь — учитывая, что пространство всех упаковок бесконечно-мерное (по n координат на каждый центр); и даже если ограничиться только решётками — работать в 8*8=64-мерном пространстве всех решёток вряд ли вызовет энтузиазм в исследовании функции на экстремум обычными методами...

Так вот — есть такая замечательная теорема. Её доказали одновременно Горбачёв и Кон и Элкис:

И это — такая "машина" по производству верхних оценок на плотности.

Нашли удачную функцию f — получили оценку. Нашли другую — получили оценку получше. Лишь бы условия на эту функцию выполнялись, а дальше — конвеер.

И доказывается она удивительно несложно. Давайте для начала посмотрим на случай упаковок решётками: пусть есть какая-то упаковка Λ с минимальным расстоянием не меньше 1; мы хотим оценить её плотность.

Применим к f формулу суммирования Пуассона — просуммировав её по этой решётке. И кусочки паззла как раз и сложатся.

В левой части стоит сумма f по решётке, где есть единственное положительное слагаемое, f(0). Потому что все остальные вектора решётки имеют длину не меньше 1 — а там f <= 0 по условию. Так что левая часть не больше f(0).

В правой части стоит произведение как раз искомой плотности — 1/covol Λ — на сумму уже, наоборот, неотрицательных слагаемых. Поэтому эта сумма не меньше, чем просто слагаемое в 0.